Dr. Sárközy Ferenc: Térinformatika
A térinformatikai
rendszerek talán legfeltűnőbb sajátossága az adatgyűjtésben van. Mivel e
rendszerekben minden tulajdonságjellemző adat helyhez kötött, a kérdéses
tulajdonság-értéken kívül az adat helyét is meg kell határozni.
Azok a módszerek, melyekkel a gyakorlatilag végtelen sok fajta
tulajdonságjellemzőről információt szerzünk maguk is számtalanok s ezért nem
vállalkozhatunk egy fejezet keretein belül e módszerek bármennyire is rövidre
fogott rendszeres ismertetésére. Megelégszünk azzal, hogy esetenként utalunk a
módszereket tárgyaló tudományágra illetve példaként azokra a digitális
adatállományokra, melyek egy-egy tulajdonságjellemző vonatkozásában a
felhasználó rendelkezésére állnak.
Bizonyos fokig másként kezeljük a távérzékelés
minőségérték meghatározó eljárásait, bár a kényszerű rövidség miatt itt
sem vállalhatjuk a rendszerezett tárgyalást, helyette az osztályozási eljárások
viszonylag bővebb tárgyalásával kivánjuk csak felvillantani az e módszerben
rejlő lehetőségeket.
A térinformatikai adatbázisok alapvetően térbeliségükben
különböznek a hagyományos alfanumerikus adatbázisoktól. Ezért az adatgyűjtés
tárgyalásakor is a térbeli helyzet meghatározására fordítjuk a fő hangsúlyt.
Tárgyalásunkat a referencia rendszerek megismerésével kezdjük,
majd röviden összefoglaljuk az alappontmeghatározások témakörét
ismertetve a hagyományos módszerek a légi- és az ürtechnikák
legfontosabb vonásait. Mivel azonban a különböző technikák elvi alapjai
függetlenek a felhasználás céljától, a fölösleges ismétlések elkerülése
érdekében az alappontsűrítési felhasználást is a módszer általános
ismertetéséhez kapcsoljuk. A tulajdonképpeni tömeges adatnyerést a részletfelmérések
szolgálják legyenek azok hagyományos földi vagy fotogrammetriai eljárások,
távérzékelő műholdas módszerek vagy műholdas helymeghatározó technikák.
A térinformatika megjelenésekor a felmérési tudományok már
olyan fejlettségi fokon voltak, mely lehetővé tette jelentős területek
kölönböző méretarányokban és különböző tartalommal történő térképezését ezért
érthető, hogy e meglévő analóg térbeli adatbázisok digitalizálása
még ma is jelentős forrása a térbeli adatnyerésnek. Ugyanakkor a sorrendiséggel is ki
szeretnénk fejezni, hogy ellentétben a laikusok körében makacsul élő tévhittel
a térképek digitalizálása nem hogy nem kizárólagos de még csak nem is elsőrendű
forrása a digitális térbeli adatoknak.
A fejezetet az attributiv adatállomány létrehozásával
kapcsolatos lehetőségek és problémák felvázolásával fejezzük be.
E rövid bevezető után rátérhetünk első témánkra.
Referencia rendszerek
E témakörön belül megismerkedünk a
- globális referencia rendszerekkel, ezen belül
- néhány geodéziai dátummal,
- a dátumok közti transzformáció matematikai
modellével és
- magyarországi alkalmazásával,
- a lokális referenciarendszerek fogalmával és hazai
realizálásukkal, végül
- a vetületi síkon végezhető műveletekkel .
A pont helyzetének meghatározása azt jelenti, hogy megadjuk
koordinátáit valamely alapul választott vonatkozási (koordináta) rendszerben.
Földi pontok esetén célszerű a vonatkozási rendszert úgy hozzákapcsolni a
Földhöz, hogy helyzetét a Föld fizikai tulajdonságai meghatározzák.
|
Legegyszerűbbnek az a megoldás tűnik, hogy
felveszünk egy olyan X Y Z derékszögű koordináta rendszert, melynek O
kezdőpontja egybeesik a Föld tömegközéppontjával, Z tengelye a Föld közepes
forgástengelyével, az XZ tengelyek által alkotott sík pedig átmegy egy
rögzített földi ponton (rendszerint a greenwich-i csillagvizsgáló rögzített
pontján) (3.1 ábra).
|
Bár
napjainkban a derékszögű koordináták használata a mesterséges holdak
segítségével működő helymeghatározó rendszerekkel kapcsolatban egyre nagyobb
jelentőségre tesz szert, a korábbi időkben a derékszögű koordináta rendszer nem
volt igazán népszerű többek között azért, mert nem tudta a gyakorlati
szemléletnek megfelelően szolgáltatni a magasságokat. A derékszögű rendszerben
ugyanis az azonos magasságú pontok Z koordinátái különbözőek. Hogy a
magasságokkal kapcsolatos igény is legalább közelítőleg kielégítésre kerüljön,
a geocentrikus derékszögű koordinátarendszerre egy forgási ellipszoidot
illesztettek olymódon, hogy meridián ellipszisének középpontja essen egybe az O
ponttal, forgástengelye pedig a Z tengellyel. Az a és b
féltengelyeket úgy választották meg, hogy a forgási ellipszoid a lehető
legjobban közelítse a Föld generalizált felszínét.
Jelölje Ni a Pi terepi pontból
az ellipszoidra bocsátott normális döféspontjának harántgörbületi sugarát,
legyen
|
|
a numerikus excentricitás.
|
Geometriai összefüggésekből levezethető,
hogy
|
|
, és a Pi pont derékszögű
koordinátái a földrajzi koordináták ismeretében az
|
alábbi kifejezésekből nyerhetők:
A derékszögű koordináták ismeretében i az alábbi
negyedfokú egyenletből számítható:
ahol . A hosszúságot a bemutatott
kifejezések segítségével az alábbiak szerint fejezhetjuk ki:
|
|
. Végül az ellipszoid feletti
|
magasságot is kifejezve
|
|
A gyakorlatban használatosabb megoldást i -re és hi-re
iterációval számítják a következő képletekből:
|
|
3.3 ábra - a
geoid és ellipszoid helyzete egy P pont környezetében
|
3.4 ábra - a geoid
és ellipszoid eltérések globális térképe
|
|
Ha abból a gyakorlati igényből indulunk ki,
hogy azonos magasságú pontok között a homogén folyadék ne áramoljon, akkor
magassági referencia felületként nem választhatjuk az ellipszoidot, mivel
felülete, ha kis mértékben is, eltér az equipotenciális felülettől. Az equipotenciális felület olyan felület, mely
minden pontjában merőleges a nehézségi erő irányára, következésképpen a rajta mozgó tömeg nem végez munkát a nehézségi
erővel szemben.
Ha a nyugalomban
lévő, homogén, kiterjedésében nem gátolt tengervíz szintjét képzeletben
meghosszabbítjuk a kontinensek alatt úgy a nyert felületet geoidnak nevezzük.
A geoid equipotenciális felület és alkalmas arra, hogy a magasságmérések
referencia felületeként szolgáljon.
Amint már említettük az ellipszoid felszíne általában eltér
a geoidtól. A 3.3 ábra felvázolja a geoid és az ellipszoid kölcsönös
helyzetét a P pont környezetében, a 3.4 ábra pedig az ellipszoid és a geoid
globális eltéréseit mutatja be színfokozatos ábrázolással.
|
Az ábra tanulsága szerint a P terepi pont magasságát
megkapjuk, ha kivonjuk az ellipszoid fölötti magasságból (hP) és az ellipszoid és a geoid távolságát az úgy nevezett geoidundulációt
(NP) (megjegyezzük, hogy N előjeles
mennyiség, akkor pozitív, ha az ellipszoid a geoid alatt van, a 3.3 ábrán
rajzolt érték tehát negatív), azaz:
.
Bár hP az ellipszoidra bocsátott normálison
tehát egy egyenesen helyezkedik el, a magasság pedig a térgörbe alakú függővonalon,
a pont és az ellipszoid távolsága a normálison illetve a függővonalon mérve
gyakorlatilag megegyezik s ezért a magasság kifejezésében az utóbbít joggal
helyettesíthetjük hP
értékével. Érdemes megjegyezni, hogy az
ellipszoid és a geoid közelségét nem csak a geoidunduláció, hanem az ábrán -val jelölt függővonal
elhajlás értéke is befolyásolja. Ez utóbbi nem más mint a P
pont ellipszoidi normálisának a
szöge a ponton átmenő függővonal pontbeli érintőjével.
Az adott országban
(vagy mérő rendszerben lsd. GPS) használt koordináta rendszert geodéziai
dátumnak nevezik. Ilyen dátumok például Északamerikában a NAD27, NAD83,
a GPS rendszer által használt az USA Katonai Térképészeti Ügynöksége
által kifejlesztett WGS-84, az Európában kialakítás alatt álló EUREF,
de tulajdonképpen dátum alapja van a hazai Egységes Országos Vetületi
Rendszernek is az úgy nevezett HD-72. Általában több száz helyi
dátum létezik.
A dátum állandósított földi pontok koordinátáinak
meghatározásával rögzíti a koordináta rendszert a Föld testében. Elvileg a
pontok derékszögű koordinátái egyértelműen meghatározzák a dátumot, ezekre a
koordinátákra bármelyik forgási ellipszoid illeszthető. A WGS-84
rendszer ilyen korszerűen értelmezett dátum. Mégis, hasonlóan a korábbi
dátumokhoz, valószínűleg a katonai térképezés egységes rendszere érdekében, e
dátumhoz is rendeltek egy WGS-84 nevű ellipszoidot, melynek nagy
féltengelye a=6 378 137 m., kis féltengelye pedig b=6 356
752.314m. A két féltengelyből számítható a lapultság is: f=1/298.2572221.
A korábbi dátumok több itt nem részletezendő okból kifolyólag
(lsd. [1], [2]) csak a vízszintes helymeghatározások
igényeihez alkalmazkodva egybemosták a derékszögű koordináta rendszert a rá
illesztett ellipszoidot illetve (pld. az EOV esetében) az alkalmazott
síkvetületet a tulajdonképpeni lokális referencia rendszert. Ez a helyzet mind
addig nem okoz problémát míg különválasztva kezeljük a vízszintes és magassági
pontmeghatározást, illetve nem akarunk különböző dátumokra alapozott térbeli
adatokat együttesen kezelni, vagy térbeli adataink meghatározásánál nem akarjuk
igénybe venni a GPS korszerű módszereit. Hogy egyszerűbben elképzelhessük
a dátum fogalmát lássuk milyen adatokkal adható meg egy hagyományos,
ellipszoidon nyugvó dátum, a hazai HD-72.
- Kiválasztanak
egy forgási ellipszoidot, ez esetünkben az IUGG GRS 1967, melynek
tengelyei:
- a=
6378160 m és
- b=6356774.516 m.
- Meghatároznak
egy kezdőpontot, és megadják a kezdőpont ellipszoidi
koordinátáit valamint ellipszoidi azimútját egy másik ismert
pontra. Esetünkben ezek az értékek a következők:
koordináták:
|
;
|
azimut az Erdőhegy nevű pontra:
|
.
|
- Megadják a függővonalelhajlás
komponenseit, vagy ezek helyett a pont csillagászati (geoidi)
koordinátáit és azimutját az ismert pontra és a geoidundulációt:
csillagászati koordináták:
|
;
|
csillagászati azimut Erdőhegyre:
|
.
|
- A fent
megadott képletek segítségével kiszámíthatjuk a
kezdőpont derékszögű koordinátáit és tengerszínt feletti magasságát és
kiegészítő információként hozzáfűzhetjük a dátum leírásához:
- a
kezdőpont derékszögű koordinátái: X=4082838.04
m, Y=1454055.97 m, Z=4664062.68 m;
-
a geoid feletti magasság és tengerszínt
feletti magasság:
|
MSzőlőhegy = h – N = 235.80 – 6.56 = 229.24 m
|
Különválasztott vízszintes és magassági referencia rendszer
esetén azonban szükségünk van magassági dátumra is. A magassági
dátum nem más mint a kérdéses régióhoz közeli közép tengerszintet rögzítő
stabilan állandósított magassági pont.
Ha szükségünk van a különböző vízszintes illetve három
dimenziós dátumokban meghatározott pontok együttes kezelésére, illetve a GPS
segítségével kívánunk meghatározni más dátumhoz kötött koordinátákat, ugy térbeli hasonlósági koordináta transzformációt kell
végrehajtanunk. A geodéziai gyakorlatban gyakran alkalmazzuk a síkbeli
transzformációkat, köztük a Helmert féle hasonlósági
transzformáció 2 D-s válfaját is. Sajnos a transzformáció háromdimenziós
variánsa egy kissé bonyolultabb, ugyanakkor széleskörűen használt a térbeli
adatnyerésben, mind a globális referencia rendszerek közötti átszámításokban
elsősorban a GPS módszerek használata esetén, mind a később ismertetendő fotogrammetriai adatnyerésben illetve Mobil
Térképező Rendszerekben. Mivel a tényleges transzformáció számítását mindig
előregyártott számítógépi programok segítségével végezzük helyszűke miatt nem
megyünk bele a megoldás részleteibe, csak annak alapelvét ismertetjük.
A forgatási mátrixok elemeit megkapjuk ha
skalárisan összeszorozzuk az eredeti tengely egységvektorát az elforgatott
tengelyével ami nem más mint a két kérdéses tengely egymással bezárt szögének
koszinusza. Ha ei az i sorszámú eredeti tengely egységvektora,e'k pedig a k
sorszámú elforgatott tengelyé, úgy
|
Tekintsük az X és XT vektorokat
alkotó két derékszögű koordináta hármast a 3.3 ábrán (az egyértelműség
kedvéért a rajzon a vektorokat felülvonással jelöltük). A két rendszer
hasonlósági transzformációját az alábbi kifejezéssel határozzuk meg:
,
ahol µ méretarány tényező, c az
eltolás vektor, azaz
az R forgatási mátrix pedig a három egymást követő forgatás
mátrixaiból épül fel az alábbiak szerint:
.
|
Ha elvégezzük a tengelyenkénti forgatási mátrixok
összeszorzását, úgy a forgatási mátrix a 3.3 ábra jelölései szerint a következő
alakot nyeri:
.
A forgatási mátrix ortogonális tulajdonságokkal rendelkezik
(lsd. pld [5]), ami többek közt azt jelenti, hogy három
eleme ismeretében a többi hat kiszámítható.
A transzformációs feladat kétféleképpen jelentkezhet: az
egyszerűbb és ritkább esetben ismerjük a transzformációs paramétereket, az
általánosabb esetben viszont ez utóbbiakat is meg kell határozni.
Az első esetben, ha tehát ismeretesek a pontok index
nélküli koordinátái valamint a transzformációs paraméterek, úgy a transzformációs
vektor egyenlet felhasználásával ugyanezen pontok indexes koordinátái
egyszerűen kiszámíthatóak. Bonyolultabb a helyzet, ha a transzformációs
paraméterek ismeretlenek. Ez utóbbiak 7 ismeretlent jelentenek tehát
legalább 7 közös koordinátával kell rendelkeznünk a megoldáshoz. A gyakorlatban több közös adatot alkalmaznak
(legalább 3 közös pontot ami 9 közös adatnak felel meg) és a feladatot
kiegyenlítéssel oldják meg (lsd. részletesebben [3]).
A megoldás fő problémája az, hogy az ismeretlenek a forgatási
mátrixban nem lineáris formában szerepelnek ezért a megoldáshoz linearizálni
kell az egyenletrendszert. A linearizálás ugyanakkor feltételezi az
ismeretlenek közelítő ismeretét. Ha ezeket az értékeket rosszul választjuk meg
úgy szerencsés esetben is csak több iteráció után kapunk megbízható megoldást.
Nem térünk ki részletesen a közelítő értékek meghatározására (az érdeklődők [5]-ből megfelelő eligazítást nyerhetnek) csak utalunk rá,
hogy gyakran kielégítő ha a méretarány tényező kezdő közelítő értékét egynek, az eltolási
és forgatási paraméterekét pedig zérusnak választjuk.
Jelöljük az ismeretlenek közelítő értékeit (c), (µ), (R)
- vel ugy a kiegyenlített értékeket a c=(c)+dc,
µ=(µ)[1+dµ], R=dR(R) kifejezések
szolgáltatják. A linearizált rendszerben tehát az ismeretlenek a dµ
méretarány javítás, az eltolás vektor három növekménye dcT=[dc1 dc2 dc3] és a dR
differenciális forgatási mátrixban elhelyezkedő forgatási szögnövekmények az
alábbiak szerint:
.
A differenciális forgatási mátrixot annak a feltételezésével vezettük le az
eredeti forgatási mátrixból, hogy közelítéseink igen jók és ezért
|
|
és
|
|
|
.
|
Egyetlen pont transzformált koordinátáinak linearizált
modellje ezek után a következő alakban írható fel:
XTi=(XT)i+Aidp,
(13) ahol az (XT)i=( µ)(R)Xi+(c) kifejezés a közelítő
transzformációs paraméterekből és az adott Xi eredeti
koordinátákból számolható. Az Ai alakmátrix és a dp
paraméter vektor a következő alakban írható fel
A
|
|
,
|
|
és
|
|
jelölések a transzformált közelítő
koordináták és eltolás vektor komponensek különbségeiként számíthatók az
alábbiak szerint:
|
Tetszőleges n számú közös pont esetén
az alakmátrix a következő alakú lesz: AT=[A1 A2 ... An]. Abban a
gyakorlati esetben amikor 3 közös pont felhasználásával kívánjuk
elvégezni a transzformációt az alakmátrix a következő alakot veszi fel:
A kapott rendszer enyhén túlhatározott (két fölös adattal
rendelkezünk), megoldását a legkisebb négyzetek módszere segítségével
számítjuk. A részletek elhagyásával, feltételezve, hogy a mindkét rendszerben
ismert koordináták pontossága azonos, az ismeretlen paraméterek növekmény
vektorát az alábbi kifejezésből nyerjük:
,
ahol az l tisztatag vektor az előzetes
értékekből számolható és a tényleges transzformált koordináták különbsége,
azaz:
Az ismeretlen paraméterek meghatározása után felhasználásukkal
tetszés szerinti mennyiségű pont koordinátáit számíthatjuk át az egyik
rendszerből (pld. a WGS-84-böl) a másik rendszerbe (pld. az EOV
rendszer alapját képező derékszögű térbeli koordináta rendszerbe). Meg kell
azonban jegyeznünk, hogy ha a közös pontok a globális méretekhez képest túl
közel vannak egymáshoz ( ez a helyzet gyakori a hazánkhoz hasonló kis országok
esetében), úgy a megoldás pontossága alacsony lesz és érvényessége viszonylag
szűk régióra korlátozódik. Még kellemetlenebb következménye a viszonylag közeli
pontoknak, hogy kevés fölös adat esetén az egyenletrendszer együttható
mátrixának rossz a kondicionáltsága, ami nem megfelelő invertáló
rutin használata esetén gyakran eredményezi a rendszer megoldhatatlanságát (a
kerekítési hibák következtében a rendszer "elszáll").
Ha tömören meg akarjuk
fogalmazni a globális referencia rendszer szerepét a térbeli adatok
kezelésében, úgy azt mondhatjuk, hogy az infrastruktúra egy meghatározott szintjét
meghaladva, hagyományos, egy országon belüli adatnyerés esetén elvileg a
globális referencia rendszerrel nem sok dolgunk van, ha azonban GPS-t
használunk a koordináták meghatározására, úgy az ismertetett transzformációk
alkalmazása nélkül nem tehetünk szert gyakorlatilag hasznosítható adatokra.
A fenti megállapítás első fele azonban sajnálatos módon nem
érvényes hazánkra.
Magyarországon ugyanis hivatalosan is két korszerű globális
referencia rendszer képezi a lokális referenciát biztosító
sík vagy síkba fejthető vetületek alapját, s akkor még nem is szóltunk
arról a két korszerűtlen dátumról, melyeken alapuló kataszteri térképek még az
ország jelentős részén használatban vannak. Már itt indokolt elmondanunk, hogy szigorú
átszámítás két különböző dátumon alapuló sík koordináta rendszer között
is csak úgy lehetséges, ha a dátumaikat is áttranszformáljuk. Míg a hagyományos
grafikus (térképi) adattárolás esetén ez gyakorlatilag nem volt lehetséges
addig a digitális állományokkal ez minden probléma nélkül megoldható. Ezért ma
már semmi sem indokolhatja ilyen esetekben a közelítő sík transzformációk
alkalmazása következtében fellépő pontosság veszteséget.
Részben a GPS
alkalmazásának megkönnyítésére, részben tudományos céllal a FÖMI kutatói
5 db. HD-72 rendszerben ismert alapponton végzett GPS észlelések
kiegyenlítéséből meghatározták a HD-72-ből WGS-84-be történő
transzformációhoz a dc vektor három komponensét, a dµ
méretarány tényezőt
és az
|
|
szögeket.
|
Az eredményeket a következő táblázatban foglatuk össze:
dc1 [m]
|
dc2 [m]
|
dc3 [m]
|
dµ ppm
|
arcsec
|
arcsec
|
arcsec
|
-56.15±5.53
|
75.70±5.26
|
16.25±5.74
|
-4.65±0.61
|
+0.21±0.14
|
+0.20±0.22
|
+0.37±0.17
|
3.1 táblázat
A táblázatból jól látható, hogy a kapott elfordulás értékek
középhibája közel megegyezik a kapott elfordulás értékekkel, ami amint már
utaltunk rá, az ország relatíve kis méreteivel magyarázható.
Mivel a paraméterek kis értékek a differenciális forgatási
mátrixszal dolgozhatunk, a méretarány tényező pedig µ=1+dµ, ezek
figyelembe vételével, behelyettesítve az 1. táblázat értékeit a transzformációs
egyenletbe a következő kifejezést kapjuk:
.
Ha fordított transzformációra van szükségünk, úgy meg kell
változtatnunk a dc komponensek valamint dµ előjelét, a
forgatási mátrixot pedig transzponálnuk kell, ami egyenértékű azzal, hogy az
átlón kívüli elemek előjelét megváltoztatjuk azaz:
.
Mivel a térbeli objektumok hagyományos analóg tárolója a
térkép egy sík papírlap vagy műanyag fólia, s mivel a különböző számítások a
síkon sokkal egyszerűbbek mint az ellipszoidon a gyakorlatban az esetek többségében a
térbeli alakzatok síkba vetített képeivel dolgozunk.
A vetítést úgy célszerű elvégezni, hogy az objektumok alakja,
méretei és kölcsönös helyzete lehetőleg minél kevésbé torzuljon. A jól
megválasztott vetületi rendszer többek közt azzal az előnnyel is rendelkezik,
hogy a földi geodéziai szögméréseket (melyeket tulajdonképpen az ellipszoidon
végeztünk) közvetlenül felhasználhatjuk a síkkoordináták számítására (
távolságok esetében ez az állítás csak azzal a korrekcióval igaz hogy néhány
száz métert meghaladó távolságok esetén redukálni kell azokat a tengerszintre
és a mért értékeket vetületi javítással is el kell látni).
A síkvetületeket úgy is elképzelhetjük, hogy egy a koordináta
tengelyekkel párhuzamos hálóval fedjük le a területet. A koordináta rendszer
kezdőpontja és pozitív X tengelyének iránya meghatározó a vetület számára.
A síkvetületet vetületi egyenletekkel határozzuk meg.
Ezek az egyenletek kapcsolatot teremtenek a derékszögű koordináták és a
földrajzi koordináták között, ezen kívül megadják a vetületi meridián
konvergencia és a mért hosszakhoz tartozó redukció értékeit is. A geodéziában
használatos vetületek 10 km alatti irányok esetében nem igényelnek redukciót a
mért irányokba.
Illusztrációként közöljük a hazánkban polgári használatra
hivatalos Egységes Országos Vetületi Rendszer néhány jellemzőjét. A téma
iránt érdeklődőknek magyar nyelven az [5]-ben található
rövid összefoglalást illetve a [6] monográfiát ajánljuk.
Meghatározás szerint az EOV a gömb süllyesztett ferde
tengelyű hengervetülete. Ez a meghatározás mindenek előtt azt jelenti, hogy nem
közvetlenül a hengerre vetítik a helyileg tájékozott ellipszoidot, hanem
először egy olyan gömbre, mely egy parallelkörben érinti.
Mielőtt tovább megyünk néhány szóval meg kell magyaráznunk a
helyi tájékozás fogalmát. Arról van szó hogy úgy helyezték el az UGGI/67
nevű forgási ellipszoidot (a=6378160 m., b=6356774,504) a Föld
forgástengelyével közel párhuzamosan a Föld tömegközéppontjához képest, hogy
Magyarország területén minél jobban közelítse a geoidot. A dátum eltolási és
elfordulási adatai valamely globális rendszerhez pld a WGS-84-hez
képest ismert ellipszoidi pontokon végzett GPS észlelések segítségével
az előző alpontban ismertetett térbeli transzformációval határozhatók meg.
Az ellipszoidot a gömb az ellipszoid
|
|
szélességű parallelkörében érinti. A
megfelelő gömbi parallelkör szélessége:
|
|
.
|
A gömb sugara az ellipszoidból levezethetően R = 6379743,001.
Amint már említettük a kettős vetítés során először az
ellipszoidi szélességet és hosszúságot vetítjük a gömbre az alábbi
egyenletekkel:
ahol k1 = 0,9968996335, k2 =1,000719704, e2 =0,006694605.
A következő lépésben egy úgynevezett segédegyenlítőt vezetünk
be, mely síkja szöget zár be az egyenlítő síkjával.
Az eredeti gömbi szélességek és hosszúságok és segédegyenlítői
megfelelőik között a következő összefüggések írhatók fel:
illetve:
Végül áttérhetünk a vetület derékszögű síkkoordinátáinak számítására:
Az m0=0,99993 érték a vetület süllyesztését szabályozza.
|
3.6 ábra -
geodéziai síkvetület koordinátarendszer
|
|
Jelöljék
X, Y a koordináták 100 km.-es egységben kifejezett értékét (azaz X
= x10-5 ), a vetületi meridiánkonvergenciát azaz a P pontbeli meridián
képe pontbeli érintőjének szögét az X tengellyel (lsd. 3.6 ábra) a következő
kifejezés szolgáltatja:
|
µ"=3479.496Y
+ 58.6959XY - 0.47255Y3 + 1.4176X2Y - 0.0263XY3 + 0.0263X3Y - 0.0010X2Y3 + 0.0005X4Y + 0.0001Y5
|
|
A másik, vetület specifikus egyenlet a
felszínen mért és a vízszintesre és tengerszintre redukált távolságokat (s)
alakítja át vetületi távolsággá (d) az alábbiak szerint:
ahol az
indexek a 3.6 ábrának megfelelően a távolság kezdő és végpontját jelölik.
A gyakorlatilag használt EOV koordináták azonban nem
azonosak a közölt x, y derékszögű sikkoordináta értékekkel,
ugyanis teljesen praktikus okokból (hogy az x és y ne legyen negatív és hogy ne
is lehessen azokat felcserélni) a képletből számított x-hez 200 km-t, az
y-hoz pedig 650 km-t hozzáadtak. Azaz:
XEOV = x
+ 200000.000 m,
YEOV = y + 650000.000 m.
A lokális magassági referencia rendszer
elvileg nem különbözik a globális magassági referencia rendszert képviselő
geoidtól. A gyakorlatban azonban a geoidnak számtalan megjelenési formája van
annak következtében, hogy az adott rendszerben melyik tenger, mely pontjának,
milyen idő intervallumra vonatkoztatott közép tengerszintjét tekintik a
kérdéses geoid egy rögzített pontjának. A gyakorlatban, mérési
hibák következtében még az is előfordul, hogy a kiválasztott pont még elvileg
sem azonos valamely tengerszinttel.
Problémát csak az jelenthet, ha két különböző referencia
rendszerre vonatkoztatott magasságokat akarunk együttesen kezelni és nem
ismerjük a két rendszer kiinduló pontjainak magasságkülönbségét. A probléma
megoldásához elvileg csak egy olyan pont ismerete szükséges, melynek magassága
mindkét rendszerben ismert. Gyakorlatilag néhány közös pont birtokában a két
rendszer magasságkülönbségét a pontonkénti eltérések számtani közepéből
nyerhetjük.
Magyarországon 1952-ig, az Adriai tenger 1875-ben Triesztnél
kijelölt középtengerszintjére alapozott magassági referencia rendszer volt
használatban, Az érdekesség kedvéért megemlítjük, a dátum a színtezési hibák
következtében eltért a választott kezdőpont szintjétől és magasságát fizikailag
a nadapi szintezési főalappont rögzítette ( az alapszintfelület 173,8385
méterre a jel alatt helyezkedik el a pont függővonalán). Az 1952-től bevezetett
Balti magasság alap-színtfelületét a kronstadti híd lábában elhelyezett
vízmérce nulla vonása jelöli ki. A két magassági referencia rendszer között az
alábbi képlettel végezhetjük az átszámítást:
HBalti = HAdriai - 0.675
m.
A lokális referencia rendszerben a földi pontok helyzetét
derékszögű síkkoordinátákkal jellemezhetjük.
Hagyományos mérőeszközökkel végrehajtott méréseink során
azonban poláris rendezőket szögeket és távolságokat mérünk. A
poláris és derékszögű koordináták közötti átszámításra ezért gyakran van
szükségünk a koordináta meghatározások során.
A direkt művelet (vagy hagyományos nevén elsô
geodéziai főfeladat a síkon) alkalmazása esetén ismerjük az 1 pont x1, y1 derékszögű
koordinátáit, megmértük a d12 távolságot és
meghatároztuk a irányszöget (azt a szöget melyet a
koordináta rendszer pozitív X tengelye az óramutató járásával megegyezően leír
ha az 12 egyenessel párhuzamos helyzetbe forgatjuk).
Az irányszöget közvetlenül nem tudjuk mérni hanem rendszerint
ismert kezdő és végponti koordinátákkal rendelkező irányhoz csatlakozó mért
szögből vezetjük le. Az irányszög meghatározásának másik ritkábban használt
módja ha egy giroteodolitnak nevezett különleges műszerrel (lsd. [5]) megmérjük az irány valódi északkal bezárt szögét az
úgy nevezett azimutot és ebből levonjuk a pontbeli vetületi
meridián konvergenciát µ-t (lsd. 3.6 ábra).
A 2 pont keresett koordinátáit az alábbi
kifejezésekből nyerjük:
|
.
|
A fordított feladat (hagyományos
nevén második geodéziai főfeladat a síkon) azt a célt
szolgálja, hogy egy irány két végponti koordinátáinak x1, y1-nak és x2, y2-nek az
ismeretében kiszámítsuk a pontok távolságát d12-t és az
általuk alkotott irány irányszögét -t. A megoldást az alábbi képletek
segítségével kapjuk meg :
|
,
|
|
.
|
Napjainkban a lokális vízszintes és magassági referencia
rendszer alappontjait még külön állandósítják.
A legtöbb országban mind a
lokális vízszintes referencia rendszer ismert koordinátájú alappontjait mind a
magassági alapponthálózatot az állami geodéziai szolgálat hozza létre,
határozza meg és tartja karban.
A vízszintes alappontok földalatti jellel ellátott beton
tömbök, melyekbe furatos rézcsapot betonoznak. A tulajdonképpeni pontot a
furatos rézcsap jelöli. A rendszerint 15x15 cm keresztmetszetű 60 cm magas
tömböket úgy ássák el a földbe, hogy alattuk a biztonság kedvéért, még egy
szintén furatos betonlap is jelölje a pontot. A két furatnak természetesen egy
függőlegesben kell elhelyezkednie. Sziklás talajon a csapot a sziklába
betonozzák, városokban gyakran alkalmaznak tetőpilléreket, szegélykőbe
betonozott csapokat stb. Magyarországon az alapponthálózat gerincét alkotó
pontokra vasbeton mérőtornyokat is építettek.
A magassági alappontokat gyakran helyezik el műtárgyakba
(hídpillérek), épületek lábazataiba. Ha a szintezési vonal közelében nincsenek
építmények úgy a talajba lesüllyesztve monolit vasbeton pillért építenek és
abba helyeznek el 2-3 magassági alappontot. Sziklás talaj esetén az
alappontokat közvetlenül a sziklába betonozzák. Maguk az alappontok szférikus
fejű fém betételemek (pld. gömbölyű fejű szögecsek), melyek legfelső pontja
képviseli a kérdéses magasságot.
A vízszintes és magassági alappontok sűrűsége átlagosan
azonos, de függ az országtól és a földhasználati övezettől. Mezőgazdasági
hasznosítású külterületen Európában a pontok sűrűsége 7 és 1.5 km között
változik. Ipari és lakott körzetekben a pontok sűrűsége jelentősen megnő és a
helyi körülmények függvényében 1.5 km és néhány száz méter között ingadozik.
Az alappontok pontos helyét rögzítő helyszínrajzi leírásokat a
pontok koordinátáival illetve magasságaival együtt Magyarországon a területileg
illetékes földhivatalban lehet beszerezni.
Megjegyzéseit
E-mail-en várja a szerző: Dr Sárközy Ferenc