|
47. Fejezet - FRAKTÁLOK
Szerkesztette: Brian Klinkerberg, University of British Columbia
Magyar változat: Detrekői Ákos, Budapesti Műszaki Egyetem
A. BEVEZETÉS
Miért tanulunk a fraktálokról?
A kartográfiai vonalak hossza
Honnan származik az elv?
B. NÉHÁNY BEVEZETŐ FOGALOM
Az euklideszi geometria
C. MÉRETARÁNYFÜGGÉS
A fraktáldimenzió meghatározása
Néhány kérdés
D. ÖNHASONLÓSÁG ÉS SKÁLÁZÁS
Önhasonlóság
Skálázás
E. A HOSSZAK ÉS A TERÜLETEK MÉRÉSÉNEK HIBÁI
IRODALOM
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK
MEGJEGYZÉSEK
A fejezetben használt fogalmakat Vicsek, M. - Vicsek, T.: FRAKTÁLOK A FIZIKÁBAN című dolgozatának (Fizikai Szemle 1993-2) megfelelően alkalmazzuk. Felhívjuk a figyelmet arra, hogy ez némileg eltér az egyéb szakterületeken szokásostól. Példaként a "skála" és a "méretarány" kettősségét említjük.
47. Fejezet - FRAKTÁLOK
Szerkesztette: Brian Klinkerberg, University of British Columbia
Magyar változat: Detrekői Ákos, Budapesti Műszaki Egyetem
A. BEVEZETÉS
Miért tanulunk a fraktálokról?
- a fraktálok inkább elveknek, mint szigorú modelleknek a halmazát jelentik
- ezek az elvek olyan elképzeléseket fejeznek ki, amelyek a kartográfiában már régen megjelentek
- a fraktálok egy lehetséges vázat biztosítanak a különböző kartográfiai objektumok generalizálás, vagy méretarány-változás következtében fellépő változásainak a megértéséhez
- lehetővé teszik a méretaránnyal és a felbontással kapcsolatos kérdések rendszerezett vizsgálatát
A kartográfiai vonalak hossza
- ha valamely hosszat két különböző méretarányban megmérnek, s a második nagyobb az elsőnél, hosszarányuk a méretarányok hányadosával kifejezhető
- a területek a hányados négyzete szerint változnak,
- a térfogatok változása a hányados köbét követi
- a kartográfiai generalizálás miatt valamely földrajzi vonal jobban növekszik, mint az a méretarányok hányadosából következne;
- nagyobb méretarány esetén újabb részletek válnak láthatóvá, a "minél közelebb vagy, annál többet látsz" elv a földrajzi adatokra is érvényes,
- a vonalak valójában úgy viselkednek, mintha tulajdonságaik a vonalak és a területek tulajdonságai között lennének
- a fraktál - nem technikai értelemben - úgy definiálható, mint (vagy pontokból, vagy vonalakból, vagy síkidomokból, vagy testekből álló) geometriai halmaz, amely alkalmas az előbbi rendellenes jelenségek mérésére;
- a kartográfiai adatok méretaránytól függő természetének elméletét a későbbiekben részletesebben tárgyaljuk
Honnan származik az elv?
- az elvet Benoit Mandelbrot 1977-ben tette közzé "Fractals: Form, Chance and Dimension" c. könyvében,
- a második kiadás "The Fractal Geometry of Nature" címet viseli,
- a közölt elvek egy része a szerzőnek a 60-as évek közepén írt, a földrajzi vonalakkal kapcsolatos munkáiból származik
- a fraktálok a természeti jelenségek tudományos vizsgálati módjának egyik legalapvetőbb változását képviselik
- több fizikai folyóirat cikkeinek 50 %-ot meghaladó hányada fraktál alapú,
- számos területen megkezdődött a természeti jelenségek fraktálgeometrián alapuló vizsgálata (különösen a geomorfológiában és a kartográfiában),
- egyes területeken igen izgalmas eredmények születtek (például Lovejoy vizsgálatai a felhős és esős területek fraktáldimenziójáról)
B. NÉHÁNY BEVEZETŐ FOGALOM
Az euklideszi geometria
- a hagyományos euklideszi geometriában pontok, vonalak, síkidomok és testek szerepelnek,
- az euklideszi értelemben vett dimenzió (E) mindig pozitív egész szám
- az euklideszi értelemben vett dimenzió megmutatja valamely pont helyzetének meghatározásához szükséges koordináták számát,
- valamely metszeten egy pont helyzetének megadásához két koordináta szükséges, a metszet euklideszi dimenziója tehát kettő,
- valamely felületen egy pont helyzetét három koordinátával lehet megadni, ebből következik, hogy a felület euklideszi dimenziója három
- az euklideszi dimenzióhoz hasonló fogalom a különböző jelenségek topológiai dimenziója (DT),
- egy sima papírlapon (melynek euklideszi dimenziója 2), rajzolhatunk kétdimenziós ábrákat (DT=2), egydimenziós vonalakat (DT=1) és nulldimenziós pontokat (DT=1). (Összehasonlítható a 0-cella, 1-cella, 2-cella megnevezésekkel)
- a fraktálgeometriában szintén pontok, vonalak, síkidomok és testek játszanak szerepet, de az egész számokra vonatkozó megkötés helyett bármely pozitív valós szám lehet fraktáldimenzió (D),
- a fraktáldimenzióként használt számok a topológiai dimenzió, mint alsó határ és az euklideszi dimenzió, mint felső határ között helyezkednek el, (azaz 0<=DT<=D<=E);
- egy papírlapra rajzolt vonal fraktáldimenziója egy és kettő között helyezkedik el;
- a fraktál kifejezés a latin fractus (gyökér) szóból származik
- a fraktáldimenzió az egyes jelenségek komplexitását mutatja, s ezen keresztül tükrözi azok "térkitöltő képességét"
47.1. ábra - különböző fraktáldimenziójú vonalak:
- egyenes vonal, azonosan 1 értékű topológiai és fraktáldimenzióval,
- enyhén görbült vonal, 1 értékű topológiai és 1-nél kissé nagyobb fraktáldimenzióval,
- erősen görbült vonal (DT=1), jóval nagyobb fraktáldimenzióval,
- a lapot teljesen "kitöltő" vonal fraktáldimenziója 2,
- igen sok természetes kartográfiai vonal fraktáldimenziója 1,15 és 1,30 közötti érték;
- a felületek fraktáldimenziója 2 (teljesen sima) és 3 (teljesen tagolt) között mozoghat
- a fraktáldimenzió jelzi az objektumok változásának mértékét generalizálás közben;
- például a kis fraktáldimenziójú (gyakorlatilag egyenes) vonalak ugyanazon hosszat adják a különböző méretarányokban,
- egy 1,5 fraktáldimenziójú vonal generalizáláskor gyorsan "veszít" a hosszából
- a topológiai dimenzió keveset árul el az alakváltozásról;
- például a tengerek partvonalainak mindig ugyanakkora a topológiai dimenziója,
- ezzel szemben a különböző partvonal szakaszok fraktáldimenziója rendkívül különböző lehet
- a fraktáldimenzió egy új és egységes módszert biztosít a vonalak és felületek metrikus információinak számszerűsítésére
C. MÉRETARÁNYFÜGGÉS
- a méréseknek a méretaránytól függő voltát (különösen térképeken végzett mérésekkor) már többen megállapították,
- például, ha valamely természetes határvonal hosszát nagyméretarányú térképről, majd pontos műszerrel állapítjuk meg, a hossz növekedését érzékeljük
- az említett jelenség a "Steinhaus paradoxon"
- Richardson (1961) kiterjedt vizsgálatokat végzett a nemzetközi határok kartográfiai reprezentációjáról
- megállapította, hogy előre látható összefüggés áll fönn a mérés méretaránya és a vonal hossza között,
- ha a határvonalat nagyobb méretarányú térképről mérték, a hossznövekedés várható volt,
- az ábra, amely a hossz és a méretarány összefüggését mutatja, a Richardson ábra elnevezést kapta,
- Mandelbrot a fraktálgeometria elveinek kialakításakor támaszkodott Richardson (és mások) munkáira és megmutatta, milyen viselkedés jósolható a fraktál-világban
A fraktáldimenzió meghatározása
- egy példán keresztül szemléltetjük valamely kartográfiai vonal fraktáldimenziója meghatározásának a lépéseit:
1. vegyünk fel egy szakaszt (hossza s1), s határozzuk meg hányszor mérhetjük rá a vizsgált vonalra, legyen ez a szám n1;
2. a vonal hosszát ekkor az s1n1 szorzat adja;
3. ismételjük meg a műveletet kisebb (s2) szakaszhosszal, legyen az eredmény n2,
4. most az s2n2 szorzat adja a vonalhosszat,
5. a fraktáldimenziót a következő összefüggéssel számíthatjuk:
D=log(n2/n1)/log(s1/s2)
Számpélda:
első szakasz s1=10 m
eredmény n1=100
második szakasz s2=5 m
eredmény n2=220
D=log(220/100)/log(10/5) =log(2,2)/log(2,0) =0,3424/0,3010 =1,14;
- az előbbi feladat megoldásakor a 10-es alapú logaritmust használtuk, azonban bármilyen alapú használható
- minél szabálytalanabb egy vonal lefutása, annál nagyobb a növekedés a két eredmény között, s annál nagyobb a fraktáldimenzió
- Mandelbrot munkájában, továbbá Peitgen és Saupe (1988), valamint Goodchild és Mark (1987), Milne (1988) dolgozataiban egyéb, a fraktáldimenzió meghatározását szolgáló eljárásokkal is találkozhatunk;
- igen sok módszer létezik pontok, vonalak, síkidomok és testek fraktáldimenziójának meghatározására
Néhány kérdés:
1. Mit tekinthetünk egy vonal "tényleges" hosszának?
2. Hogyan hasonlíthatunk össze nem meghatározott hosszúságú görbéket?
3. Mely értéket tekinthetjük a hosszmérés alapjának?
- egy síkidom kerülete a méretaránnyal növekszik, a terület viszont lényegesen kisebb mértékben ingadodozik:
- ismer-e olyan vizsgálatokat, amelyek azt mutatják, a terület kevésbé méretarány függő a kerületnél?
- mit tükrözhet egy, a kerület és a terület négyzetgyökének hányadosaként számított mérték?
- a felsorolt (és a hozzájuk hasonló) problémáknak nincs teljes megoldásuk;
- azonban a fraktálgeometria (különösen a fraktáldimenziók) alkalmazása jól hasznosítható összehasonlító mértékek és indexek bevezetését teszi lehetővé (lásd Woronow,1981)
- az említett kérdések különösen érdekesek a digitális kartográfia művelőinek (pl. Buttenfield, 1985), különös tekintettel a következőkre:
1. digitalizálás
- a megfelelő mintavételi távolság meghatározása,
2. vonalak generalizálása
- az a legjobb generalizálási módszer, amelyik legjobban megőrzi az illető vonal fraktáldimenzióját,
3. vonalak ábrázolása az adatgyűjtésénél nagyobb méretarányban
- járulékos "információk" bevezetése a vonalhoz mesterséges részletek hozzárendelésével, ezek a részletek az eredeti vonal fraktáldimenziójának a függvényei,
4. a fraktáldimenziók bevonása a hagyományos kartometriai mértékek közé, l. Woronow (1981)
D. ÖNHASONLÓSÁG ÉS SKÁLÁZÁS
Önhasonlóság
- azt jelzi, hogy bizonyos szempontból a folyamatok és a jelenségek invariánsak a skála-függő transzformációkra, mint például az egyszerű kicsinyítés vagy nagyítás
- két módon fejezhető ki:
47.2. ábra - Önhasonlóság
1. Geometriai önhasonlóság, amely esetén szigorú azonosság létezik a nagy és a kis méretarányban,
- természeti jelenségeknél nem fordul elő,
- a Morton rendszer - a négyfák (gráfok) - használja fel ezt az elvet ugyanazon mintázat biztosításához a négyfa minden szintjén
2. Statisztikai önhasonlóság, amely esetén az azonosság valószínűségi jelleggel érvényesül,
- ez a (véletlen jellegű) önhasonlóság igen gyakori, igen sok természeti jelenséggel összefüggésben megjelenik , például tengerek partvonala, talajok pH profilja, folyóhálózatok (Burrogh, 1981; Peitgen és Sape, 1988; stb.)
- az önhasonlóság legegyszerűbben vizuálisan vizsgálható
- ha valamely jelenség önhasonló, bármely részletét felnagyítjuk, annak megkülönböztethetetlenül hasonlítania kell az egész jelenségre, illetve akármely más részletére;
- ha egy természeti jelenség önhasonló, akkor annak méretaránya meghatározhatatlan,
- például egy önhasonló topográfiai felszínről készített képen nem tudjuk eldönteni, hogy egy hegyvonulatot, vagy csupán egy hegy részletét látjuk - így nincs vizuális támpont a kép méretarányára;
- különböző kulturális, geológiai,geomorfológiai önhasonló jelenségek mellett leggyakoribb példát a Hold és a Föld felszínének müködő vulkánjai biztosítják
Skálázás
- nem feltétlenül azonos az önhasonlósággal, azonban a szakirodalom gyakran felcseréli a két fogalmat
- képzeljünk el egy tájat, amelyet egyrészt egy felület, másrészt egy szintvonalas térkép reprezentál;
- a szintvonalas térképen (amelynek koordinátái két dimenziósak) a táj jellege nem változik, ha a tengelyeket eltoljuk; az eltolás következtében ugyanis nem módosul a szintvonalak jellege,
- a szintvonalak ennélfogva jó példái az egyszerűen skálázott fraktáloknak,
- a 3 dimenziós koordinátákkal rendelkező felületen nem cserélhetjük fel sem az x, sem az y tengelyt a z tengellyel a táj jellegének alapvető változása nélkül,
- mivel a z tengely más skálázási paraméterrel rendelkezik, mint az x és az y tengely, a Föld felszínének felületekkel történő reprezentálása példa a nem egységes (vagy multi-) skálázott fraktálokkal történő ábrázolásra
- az alakzatok, amelyek statisztikailag invariánsak a különbözően skálázott koordinátákkal történő transzformálásra, önaffin alakzatoknak tekinthetők (Peitgen és Saupe, 1988)
- a Föld felszín példa az önaffin fraktálokra, azonban nem példa az önhasonló fraktálokra,
- a szintvonalak, amelyek a felszín vízszintes metszetei, a statisztikailag önhasonló jelenségekre szolgálnak például (mivel az egyes szintvonalakhoz állandó z érték tartozik)
- mivel a Föld felszín önaffin és nem önhasonló, azok a módszerek, amelyek a felszín alapján határozzák meg a fraktáldimenziót más eredményhez vezetnek, mint a felszínt jellemző szintvonalakból kiinduló módszerek
E. A HOSSZAK ÉS A TERÜLETEK MÉRÉSÉNEK HIBÁI
- a méretarány (skála), mivel kapcsolatban van a generalizálással és a felbontással, jelentős befolyást gyakorol a hossz- és területmérésre
- a pontok jellemzésével, a hosszak és területek becslésével összefüggő kérdések kapcsolatban vannak az egyes jelenségek fraktáldimenziójával (Goodchild, 1980)
- a területek becslése - különösen raszteralapú rendszerek esetén - igen gyakran a pixelek megszámlálásán alapszik;
- a területbecslés hibája ilyenkor az objektum határvonala által metszett pixelek számának a függvénye,
- az egynél nagyobb fraktáldimenziójú határvonalak a pixelméret csökkenésével (azaz a felbontás növekedésével) egyre összetettebben jelennek meg,
- minél bonyolultabb a határvonal, azaz minél nagyobb a dimenziója, annál kevésbé nő a hiba a cellamérettel,
- a pixelalapú területbecslés hibája függ a jelenség tájbeli eloszlásától is: egy "tömör" jelenség területének a hibája lényegesen kisebb egy "szétszórt" jelenség területének hibájánál;
- Goodchild és Mark (1987 p. 268) kimutatta a következőket:
- a területmeghatározás százalékos hibája a(1-D/4), ahol 'a' a pixel területe, D a határvonal fraktáldimenziója,
- a középhiba erősen tagolt területen a1/2, egyszerűbb sima határvonalú területen a3/4 értékkel arányos
IRODALOM
Only a very small portion of the literature is presented here. For further references you should refer to the Goodchild and Mark (1987) paper; recent issues of Water Resources Research and Science also contain relevant papers
Burrough, P.A., 1981. "Fractal dimensions of landscapes and other environmental data," Nature 294:240-242.
Buttenfield, B., 1985. "Treatment of the cartographic line," Cartographica 22:1-26.
Goodchild, M.F., 1980. "Fractals and the accuracy of geographical measures," Mathematical Geology 12:85-98.
Goodchild, M.F., and Grandfield, A.W., 1983. "Optimizing raster storage: An evaluation of four
alternatives," Auto-Carto 6(2):400-407.
Goodchild, M.F., and Mark, D.M., 1987. "The fractal nature of geographic phenomena," Annals AAG
77(2):265-278.
Hakanson, L., 1978. "The length of closed geomorphic lines," Mathematical Geology 10:141-167.
Lovejoy, S., 1982. "Area-perimeter relation for rain and cloud areas," Science 216:185-187.
Mandelbrot, B.M., 1977. "Fractals: Form, Chance and Dimension", Freeman, San Francisco
Mandelbrot, B.M., 1982. "The Fractal Geometry of Nature", W.H. Freeman and Co., New York
Milne, B.T., 1988. "Measuring the fractal geometry of landscapes," Applied Mathematics and
Computation 27:67-79.
Peitgen, H.-O. and D. Saupe (Eds.) 1988. "The Science of Fractal Images", Springer-Verlag, New York
Richardson, L.F., 1961. "The problem of contiguity," General Systems Yearbook 6:139-187.
Unwin, D., editor, 1989. "Special issue on fractals", Computers and Geosciences 15(2).
Woronow, A., 1981. "Morphometric consistency with the Hausdorff-Besicovich dimension," Mathematical
Geology 13:201-216.
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK
1. Az eddigiekben bemutattuk, hogy a raszteralapú rendszerek esetén a területmeghatározás hibájának megértéséhez a fraktálok nagy segítséget nyújtanak; ugyanakkor alig volt szó a fraktálok jelentőségéről vektoralapú rendszerek területmeghatározási hibájával összefüggésben. Miért? (Azaz változhat-e egy zárt alakzat területe jelentősen? Várható, hogy jelentős változás nem lép fel, mivel az önhasonló részletek ugyanolyan mértékben csökkentik és növelik a területet.)
2. Mondja el, mi a "fraktál"! A fogalom ismertetésekor térjen ki a skálafüggés, az önhasonlóság és a skálázás ismertetésére is!
3. Kíséreljük meg annak vizsgálatát, hogyan változtatták meg a fraktálok a különböző jelenségekkel összefüggő szemléletét. Olvasmányai alapján mondjon példákat a szemléletváltozásra!
4. A fraktálok elméletileg minden méretarányban (skálában) alkalmasak a jelenségek tulajdonságainak jellemzésére. Gyakorlatilag azonban az önhasonlóság alkalmazásának határai vannak. Mit gondol, hol jelentkeznek ezek a határok? (Azaz, például egy tengerpart esetében milyen hosszúságig tekinthetjük a határvonalat önhasonlónak?) Hogyan vesszük figyelembe kartográfiai vonalak generalizálásakor, ha valamely alakzatnál érzékeljük az önhasonlóság egyértelmű határát?
|
