|
40. Fejezet - TÉRBELI INTERPOLÁCIÓ I
Szerkesztette: Nigel M. Waters, University of Calgary
Magyar változat: Závoti József, Geodéziai és Geofizikai Kutató Intézet, Sopron
A. BEVEZETÉS
B. AZ INTERPOLÁCIÓS ELJÁRÁSOK OSZTÁLYOZÁSA
1. Pontok interpolációja/Tartományi interpoláció
2. Globális/lokális interpolátorok
3. Egzakt/közelítő interpolátorok
4. Sztohasztikus/determinisztikus interpolátorok
5. Fokozatos/hirtelen változású interpolátorok
C. PONTOKRA ALAPOZOTT INTERPOLÁCIÓ - EGZAKT MÓDSZEREK
1. Közelítő (proximális)
2. B-spline-ok
3. Krigelés
Variogramok
A variogram származtatása
A becslések számítása
4. Kézi ("ránézéses") interpoláció
D. PONTOKRA ALAPOZOTT INTERPOLÁCIÓ - KÖZELÍTŐ MÓDSZEREK
1. Trend-felület analízis
2. Fourier-sorok
3. Változó átlag/távolsággal súlyozott átlag
IRODALOM
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK
MEGJEGYZÉSEK
40. Fejezet - TÉRBELI INTERPOLÁCIÓ I
Szerkesztette: Nigel M. Waters, University of Calgary
Magyar változat: Závoti József, Geodéziai és Geofizikai Kutató Intézet, Sopron
A. BEVEZETÉS
- térbeli interpoláció az az eljárás, amely a rendelkezésre álló megfigyelések által meghatározott térség mintavétellel nem rendelkező pontjaiban becslést ad a vizsgált tulajdonságok értékére
- a legtöbb esetben a tulajdonságot jellemző értéknek egy meghatározott intervallumba kell esnie, vagy egy meghatározott értékkel vett hányadosát kell tekinteni
- úgy lehet elképzelni, mint a fordítottját annak az eljárásnak, amely egy digitális magasságmodellből kiválasztja azt a néhány pontot, amely megfelelő pontossággal határozza meg a felületet
- a térbeli interpoláció azon a feltevésen alapul, hogy a térben egymáshoz közel elhelyezkedő pontok értéke nagyobb valószínűséggel hasonló, mint az egymástól messze levő pontoké (Tobler törvénye a geográfiára)
- a térbeli interpoláció nagyon fontos alkotórésze sok GIS-nek
- a térbeli interpoláció a GIS-ekben a következő célokra használható:
- szintvonalak szolgáltatása adatok grafikus megjelenítéséhez
- a felület valamely jellemzőjének kiszámítása egy adott pontban
- az összehasonlításhoz használt mértékegység megváltoztatása, amikor különböző rétegekben különböző adatstruktúrák kerülnek alkalmazásra
- gyakran használatos segédeszköz térbeli döntéshozatali folyamatoknál fizikai és humán geográfiában egyaránt, továbbá olyan rokon területeken, mint ásványi nyersanyagok feltárása és szénhidrogénkutatás
- a térbeli interpoláció sok eljárása az eredetileg idősorok analízisére kifejlesztett egydimenziós módszerek kétdimenzióra történt továbbfejlesztése
- a jelen fejezet a térbeli interpoláció bevezetését tartalmazza és megvizsgálja a pontokra alapozott interpolációt, míg a következő a tartományi eljárásokkal és néhány alkalmazással foglalkozik
B. AZ INTERPOLÁCIÓS ELJÁRÁSOK OSZTÁLYOZÁSA
- a térbeli interpolációs eljárásokat különböző módon osztályozhatjuk:
1. Pontok interpolációja/Tartományi interpoláció
- pontokra alapozott
- adva van bizonyos számú pont, amelyeknek helye és értéke ismert; meghatározandók bizonyos előre megadott helyen lévő más pontok értékei
- pont interpolációt olyan adatoknál alkalmaznak, amelyek pontszerű helyeken gyűjthetők, pl. meterológiai állomások által szolgáltatott adatoknál, földrajzi pontok magasságainál, olajkutaknál mért adatoknál, porozitási méréseknél
- az ilyen interpolációval kapott rácspontok gyakran szolgálnak inputként számítógépes szintvonalrajzoló algoritmusokhoz
- a rácspontok meghatározása után az izovonalak (pl. szintvonalak) már átvezethetők közöttük olymódon, hogy minden rácspont-pár által meghatározott egyenesszakaszon lineáris interpolációt alkalmazunk
- a pontról pontra végzett interpoláció a GIS-ben a leggyakrabban végzett térbeli interpoláció típus
- vonalakról pontokra
- pl. szintvonalakról magassági rácsra
- adott tartományú interpoláció
- forrás-zónák egy bizonyos halmazán térképezett adatok egy adott halmaza esetén meghatározandók az adatok értékei forrás-zónák egy másik halmazára
- pl. népszámlálási kerületekben kapott népesség-számokból megbecsülendők a választási kerületek népességszámai
2. Globális/lokális interpolátorok
- a globális interpolátorok egyetlen függvényt határoznak meg, amely az egész területre vonatkozik
- egy input érték megváltoztatása az egész térképre hatással van
- a lokális interpolátorok ismételten alkalmaznak egy algoritmust a teljes ponthalmaznak egy kis részére
- egy input érték megváltoztatása csak az ablakon belüli eredményre van hatással
- a globális algoritmusok általában simább felületeket eredményeznek, amelyeken a változások kevésbé hirtelen jellegűek
- akkor alkalmazzák, ha rendelkezésre áll egy hipotézis a felület alakjáról, pl. egy trend esetén
- vannak olyan lokális interpolátorok, amelyek kiterjeszthetők úgy, hogy magukba foglalják az adott pontok egy nagy hányadát, ami által bizonyos értelemben globálissá válnak
- ezért nincs éles határ a globális és a lokális interpolátorok között
- ez félreértésekhez és vitákhoz vezetett az irodalomban
3. Egzakt/közelítő interpolátorok
- az egzakt interpolátorok az interpoláció alapját képező adatpontokon az eredeti értékeket hűen (eltérés nélkül) adják vissza
- a felület áthalad mindazon pontokon, amelyek értéke ismert
- az adatpontokon való hű értékvisszaadás fontos követelmény sok alkalmazásnál, pl. az olajiparban
- a közelítő interpolátorok, a B-spline-ok és a Krigelés mind olyan módszerek, amelyek hű értékvisszaadást biztosítanak az adott pontokban
- a Krigelésnél, mint alább látni fogjuk, ún. nugget-effektus léphet fel, ilyen esetben az egzakt interpolátor megjelölés már nem megfelelő
- a közelítő interpolátorokat olyan esetekben alkalmazzák, amikor az adott felületi értékek bizonyos mértékben bizonytalanok
- itt az a nézet kerül alkalmazásra, hogy sok adathalmaz esetében léteznek lassan változó globális trendek, és ezekhez a trendekhez lokális fluktuációk adódnak, melyek viszont gyors változásuak, és így bizonytalanságot (hibát) eredményeznek a rögzített értékekben
- a simítás ezért csökkenti a hibák hatását az eredő felületre
4. Sztohasztikus/determinisztikus interpolátorok
- a sztohasztikus módszerekben benne van a véletlen fogalma
- az interpolált felületet úgy lehet elképzelni, mint egyet azok közül, amelyek az ismert adatpontokra szorítkozva megfigyelhetők lettek volna
- a sztohasztikus módszerek alkalmazzák a trend-felület analízist, a Fourier analízist és a Krigelést
- a trend-felület analízishez hasonló módszerek lehetővé teszik a felület statisztikai szignifikanciájának és az előrejelzett értékek bizonytalanságának a kiszámítását
- a determinisztikus módszerek nem alkalmaznak valószínűségelméletet (pl. a közelítőek)
5. Fokozatos/hirtelen változású interpolátorok
- fokozatos interpolátoroknak tipikus példája a távolsággal súlyozott mozgó átlag
- rendszerint fokozatos változású interpolált felületet eredményez
- azonban, ha a mozgó átlag módszerénél a használt pontok száma erősen lecsökken, vagy akár egy lesz, akkor a felületben hirtelen változások lesznek
- szükségessé válhat akadályok beiktatása az interpolációs folyamatba
- félig áteresztő, pl. időjárási frontok
- gyorsan változó, de folytonos értékeket fognak eredményezni
- áthatolhatatlan akadályok, pl. geológiai törésvonalak
- hirtelen változásokat fognak eredményezni
C. PONTOKRA ALAPOZOTT INTERPOLÁCIÓ - EGZAKT MÓDSZEREK
- Lam (1983) és Burrough (1986) ismertettek egy sor kvantitatív interpolációs módszert, amelyek alkalmazhatók számítógépes szintvonalrajzoló algoritmusokban
- ebben és a következő részben ezeket osztályozni fogjuk egzakt és közelítő módszerekre
- a jelen rész az egzakt módszerekkel foglalkozik
1. Közelítő (proximális)
- minden érték egyenlőnek tekintendő a legközelebbi ismert ponttal
- ez egy lokális interpolátor
- aránylag kevés számítást igényel
- az output adatstruktúra Thiessen poligonokból áll, a határoknál hirtelen változásokkal
- ökológiai alkalmazásai vannak, mint pl. területek és hatás-zónák
- nominális adatokra a legjobb, bár Thiessen eredetileg arra használta, hogy eső-csapadék adatokból tartományi becsléseket számítson
- abszolút robusztus, mindig eredményt szolgáltat, de nincs semmi "intelligenciája" a vizsgált rendszerre vonatkozóan
- nagyon kevés térképészeti programcsomag tartalmazza, egy említésre méltó kivétel a SYMAP
2. B-spline-ok
- szakaszonkénti polinomokat használnak olymódon, hogy egymáshoz folytonos első és második deriváltakkal csatlakozó felületdarabkákat állítsanak elő
- folytonos eredményt adnak a következő értékekre:
- magasság (0-adrendű folytonosság) - A felület nem tartalmaz sziklákat
- meredekség (elsőrendű folytonosság) - A meredekség nem változik hirtelen, a szintvonalak simák
- görbület (másodrendű folytonosság) - Minimális görbületet szolgáltat
- minimális görbületű folytonos felületet szolgáltatnak
- az output adatstruktúra raszteren levő pontokból áll
- vegyük észre, hogy a maximumok és a minimumok nem feltétlenül az adatpontokon lesznek
- lokális interpolátor
- lehet egzakt, vagy használható felületsimításra
- számítási igénye közepes
- nagyon sima felületekre a legjobbak
- erős fluktuációjú felületeken nem jók, mert a spline-okban vad oszcillációt okozhatnak
- népszerűek az általános felület-interpolációs programcsomagokban, de GIS-ben ritkán fordulnak elő
- közelíthetők olyan szintvonalak simításával, amelyek TIN modellből lettek rajzolva
- lásd Burrough (1986), Davis (1986), továbbá matematikai vonatkozásokhoz Lam (1983), valamint Hearn és Baker (1986)
- leírásuk megtalálható még a "numerikus approximáció elmélet"-ben
3. Krigelés
- kifejlesztették: Georges Matheron, mint a "regionalizált változók elmélete", valamint D.G. Krige, mint az interpoláció optimális elmélete a bányászatban
- ennek az eljárásnak az szolgál alapjául, hogy a térben a pontok között a szórás milyen ütemben változik
- ez leolvasható a variogram-ról, amely azt mutatja, hogy hogyan függ a pontok közötti távolságtól a pontokhoz tartozó értékek átlagos eltérése
Variogramok
- D
e (függőleges tengely) felírható, mint E(zi - zj)2 , tehát mint az eltérés "várható értéke"
- tehát egymástól d távolságra levő bármely két pont magasságértékének átlagos eltérése
- d (vízszintes tengely) értéke az i és j közötti távolság
- a legtöbb variogram az ábrához hasonló viselkedést mutat
- D
e felső határát (aszimptotáját) küszöbnek hívják
- azt a távolságot, amelynél ez a határérték fellép, hatástávolságnak (range) nevezik
- az y-tengellyel való metszés pontot "nugget"-nek hívják
- ha a nugget nullától különbözik, az arra utal, hogy ugyanazon a ponton végzett ismételt mérések különböző értékeket szolgáltatnak
- a variogram készítésekor szükséges néhány feltevést tenni a felületen megfigyelt változás jellegét illetően:
- az egyszerű Krigelés feltételezi, hogy a felület középértéke állandó, trend nem lép fel és minden változás statisztikai
- az univerzális Krigelés feltételezi, hogy a statisztikai változáson kívül a felület egy determinisztikus trend-el is rendelkezik
- akármelyik esetben, ha a trendek már meg lettek állapítva (vagy a feltételezés szerint nincs trend), minden további változásnál feltesszük, hogy a távolság függvényei
A variogram származtatása
- a krigelés input adatait rendszerint szabálytalanul elhelyezkedő mintapontok alkotják
- egy variogram kiszámításához meg kell határoznunk, hogy a szórás hogyan növekszik a távolság függvényében
- először is a hatástávolságot diszkrét intervallumokra osztjuk, pl. a vizsgált területen 0 és a maximális távolság között 10 intervallumot veszünk fel
- minden pontjára kiszámítjuk a távolságot és a z értékek különbségének a négyzetét
- minden párt hozzárendelünk a hatástávolságok egyikéhez, és kiszámítjuk a teljes szórást mindegyik hatástávolságra
- a hatástávolság középpontjában kirajzoltatjuk a kapott értéket
A becslések számítása
- miután elkészült a variogram, az interpoláció távolság-súlyainak becslésére használjuk fel
- az interpolált értékek egyenlők néhány ismert pont súlyozott értékeinek összegeivel, ahol a súlyok az interpolált és az ismert pontok közötti távolság függvényei
- a súlyokat úgy választjuk meg, hogy a becslések
- torzítatlanok (ismételt alkalmazás esetén a Krigelés átlagban helyes eredményt adna)
- minimális szórásúak (az ismételt becslések közötti változás minimális)
- az eljárással kapcsolatos problémák:
- nagyszámú adatpont esetén ez az eljárás nagyon számítás-igényes
- a variogram becslése nem egyszerű, egyetlen eljárást sem lehet a legjobbnak tekinteni
- mivel a változás statisztikai jellegéről több lényeges feltevést kell tenni, az így kapott eredmények nem tekinthetők abszolútnak
- az egyszerű Krigelésre rutinokat tartalmaznak a következők: a Surface II programcsomag (Kansas Geological Survey) és Surfer (Golden Software), továbbá a GEOEAS programcsomag, amelyet PC-re fejlesztettek ki az Amerikai Környezetvédelmi Hivatalban (US Environmental Protection Agency),GENSTAT (.N.AG /The Numerical Algorithms Group LTD/ Anglia)
4. Kézi ("ránézéses") interpoláció
- geográfusok és térképészek hagyományosan nem becsülik sokra
- azonban Dutton-Marion (1988) rámutatott, hogy a geológusok körében ez nagyon fontos eljárás, és hogy a legtöbb geológus valójában bizalmatlan a bonyolultabb, többet tudó algoritmusokkal szemben
- úgy érzik, hogy támaszkodhatnak a szakértelmükre, modellezési képességükre és tapasztalatukra, és ennek a tudásnak a birtokában a geológiai felület előállításába valósághűbb interpolációt integrálhatnak
- történnek kísérletek abba az irányba, hogy ismerettervező eljárásokkal ezt a tudást a szakértőktől összegyűjtsék, és interpoláció céljára szakértő rendszerekbe építsék be
- l. a 74-ik fejezetet, ahol erről a témáról több található
- ez a módszer a következő jellemzőkkel rendelkezik:
- ezek az eljárások lokálisak, ugyanis a szakértő a térkép különböző részein különböző módszereket használhat
- általában az adatpontokon hű értékvisszaadást biztosítanak
- ezekkel a módszerekkel könnyebben modellezhetők olyan hirtelen változások, mint pl. a törésvonalak
- a felületek szubjektívek, másik szakértő esetén a felület is más lesz
- az output adatstruktúra általában szintvonal képében jelentkezik
D. PONTOKRA ALAPOZOTT INTERPOLÁCIÓ - KÖZELÍTŐ MÓDSZEREK
1. Trend-felület analízis
- a felületet polinommal közelítjük
- az output adatstruktúra egy polinom-függvény, amely felhasználható raszteren levő rácspontok értékeinek becslésére vagy bármely helyhez tartozó érték becslésére
- a felület tetszőleges (x,y) pontjának z magassága egy x és y hatványait tartalmazó képlettel számítható
- például egy dőlt sík felületet egy lineáris (elsőfokú) egyenlet határoz meg:
z = a + bx + cy
- pl. egy másodfokú egyenlet egy egyszerű dombot vagy völgyet ír le:
z = a + bx + cy + dx2 + exy + fy2
- általános érvényű, hogy egy n-edfokú felület bármely keresztmetszetének legfeljebb n-1 váltakozó maximuma és minimuma lehet
- pl. egy harmadfokú felület bármely keresztmetszetének egy maximuma és egy minimuma lehet
- a harmadfokú felület egyenlete:
z = a + bx + cy +dx2 + exy + fy2 + gx3 + hx2y + ixy2 + jy3
- a trend-felület egy globális interpolátor
- feltételezi, hogy a felület általános trendje független az egyes mintavételi pontokban fellépő véletlen hibáktól
- számításigénye aránylag kicsi
- problémák
- a modellről tett statisztikai feltevések a gyakorlatban ritkán teljesülnek
- a tartományok szélein igen komoly problémák léphetnek fel
- a polinomiális modell lekerekített felületet eredményez
- humán és fizikai alkalmazások esetén ez ritkán felel meg a valóságnak
- igen sok térképészeti programcsomag tartalmazza
- nem ortogonális polinomokra l. Davis (1973) és Sampson (1978): ortogonális polinomokra pedig Mather (1976)
2. Fourier-sorok
- a felületet sinus és cosinus hullámok egy sorának összetevésével (overlay) közelíti
- globális interpolátor
- számításigénye közepes
- az output adatstruktúrát a Fourier-sor képezi, amely felhasználható raszteres rácspont értékek, vagy tetszőleges pontbeli érték becslésére
- a legjobban olyan adathalmazok esetén használható, amelyek jellegzetes periodicitást mutatnak, pl. a tenger hullámai
- ritkán található meg számítógépes programcsomagokban
- egyszerű programot és leírást közöl Davis (1973)
3. Változó átlag/távolsággal súlyozott átlag
- a becslések n ismert pontbeli értékek átlagaival egyenlők:
z = S
wizi/ S
wi
ahol w a távolság valamilyen függvénye, pl.:
w = 1/dk w = e-kd
- szinte végtelen sokfajta algoritmus használható, az eltéréseket többek között az alábbiak jelentik:
- a távolságfüggvény jellege
- a felhasznált pontok számának változtatása
- az az irány, amelyből a pontok ki lesznek választva
- a legelterjedtebben használt módszer
- az ezzel a módszerrel szembeni ellenvetések abból a tényből erednek, hogy az interpolált értékek az adatok által meghatározott intervallumba kell, hogy essenek
- egyetlen interpolált érték sem eshet a megfigyelt z értékek intervallumán kívül
- további problémák:
- az átlagoláshoz hány pont legyen felhasználva?
- a szabálytalanul elhelyezkedő pontok esetén mi a teendő?
- a széleken fellépő jelenségek hogyan kezelendők?
IRODALOM
Burrough, P.A., 1986. "Principles of Geographical Information System for land Resources Assessment",
Clarendon, Oxford. See. Chapter 8
Davis, J.C., 1986. "Statistics and Data Analysis in Geology", 2nd edition, Wiley, New York. (Also see
first, 1973, edition for program listings.)
Dutton-Marion, K.E., 1988. "Principles of Interpolation procedures in the Display and Analysis of Spatial Data: A Comparative Analysis of Conceptual and Computer Contouring", unpublisched Ph.D. Thesis, Department of Geography, University of Calgary, Calgary, Alberta
Hearn, D., and Baker, M.P., 1986. "Computer Graphics", Prentice-Hall Inc, Englewood Cliffs, N.J
Jones, T.A., Hamilton, D.E. and Johnson, C.R., 1986. "Contouring Geologic Surfaces with the Computer", Van Nostrand Reinhold, New York
Lam, N., 1983. "Spatial Interpolation Methods: A Review", The American Cartographer 10(2):129-149
Mather, P.M., 1976. "Computational Methods of Multivariate Analysis in Physical Geography", Wigley,
New York
Sampson, R.J., 1978. "Surface" II, revised edition, Kansas Geological Survey, Lawrence, Kansas
Waters, N.M., 1988. "Expert System and Systems of Experts", Chapter 12 in: W.J. Coffey, ed., "Geographical
Systems and Systems of Geography: Essays in Honour of William Warntz", Department of Geography, University of Western Ontario, London, Ontario
ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK
1. Felületgenerálásra vannak-e más módszerek? A fenti eljárások közül hánynak elterjedt a használata? Milyen népszerűségi sorrendbe lehetne őket állítani? Adjon példákat az irodalomból arra, hol használták fel őket eddig!
2. A kézi szintvonalrajzolást hogyan lehet alternatívaként értékelni? Mit gondolt erről eddig, és megváltozott-e a véleménye? Melyek a kézi szintvonalrajzolással kapcsolatos meghatározóan fontos jellegzetességek és folyamatok?
3. Magyarázza meg a kézi interpoláció előnyeit és hátrányait a kézi szintvonalrajzolás esetében a számítógépes interpolációval szemben, ha ez utóbbit egy számítógépes szintvonalrajzoló programcsomagban levőnek tekintjük!
4. Írja le, hogy a térbeli interpolációs algoritmusokat milyen különböző módokon lehet osztályozni!
|
