Dr. Sárközy Ferenc: Térinformatika
Valódi térbeli (2.5 és 3 dimenziós) adatmodellek
P>Ebben a részben a valódi térbeli
modelekkel foglalkozunk. Ezen belül megismerkedünk:
- a 2.5 D-s modellezéssel,
- a térbeli objektumok modellezési módszereivel éspedig,
- a szabályos térbeli objektumok modellezésével,
- a szabálytalan térbeli objektumok modellezésével,
- a szabályos térbeli tesszellációval,
- a szabálytalan térbeli tesszellációval.
Az utolsó évtizedben egyre nagyobb érdeklődés nyilvánul meg,
elsősorban a föld- és bányászati tudományok részéről, Földünk belsejének
háromdimenziós modellezésére. A témakör új voltát talán meggyőzően illusztrálja
két évszám: 1985-ban Harrogate-ben a Nemzetközi Bányamérő Egyesület VI.
Kongresszusa alkalmából rendezett kiállításon mutatta be az angol Szénhivatal
első kísérleti 3 dimenziós bányászati tervezőrendszerét, s ugyanezen a
kongresszuson két előadás szólt a 3D-s modellezés bányászati alkalmazásáról (M.
Kavouras Kanadában tanuló görög doktoranduszé [13] és a
szerzőé [14]); a második évszám 1989, ekkor mutatta be első
kereskedelmi 3D-s modellező rendszerét az AUTO-CARTO 9 konferencián a Dynamic
Graphics, Inc. kaliforniai cég [15].
A számítógépes három dimenziós modellezés más célú
felhasználása sem tekinthet egy évtizednél hosszabb időre vissza. A 80-as évek
első felében jelentek meg az első gépészeti 3 D-s CAD és CAM
rendszerek, az évtized végére pedig az építészeti tervezésbe is bevonult a
módszer.
A térinformatika kapcsolatrendszerében az alábbi három fő
törekvési irány igyekszik hasznosítani a valódi térbeli modellezést:
- a földtani
és bányászati modellezés;
- térhatású,
az épületeket is megjelenítő elektronikus és nyomtatott térképek;
- föld alatti
és föld feletti skalár terek modellezése, elsősorban a
környezetvédelem-környezetgazdálkodás szempontjai figyelembevételével.
A felsorolt három irányzat céljai eléréséhez különböző
adatmodelleket használ. Ha a feladat valamilyen szabálytalan alakú térbeli tömb
(pld egy telér) leírása, úgy a vektoros és tesszellációs modellek 3 D-s
megfelelői kerülnek alkalmazásra. A szabályos elemi testekből álló objektumok
esetén a vektoros vagy tesszellációs modell különleges válfajai a határleírás
és a konstruktív test geometria felhasználása nyujtja a legjobb
eredményeket. Vezérgörbével és állandó keresztmetszettel leirható objektumok
modellezését legegyszerűbben pásztázással oldhatjuk meg. A litoszféra,
hydroszféra és atmoszféra modellezése esetén rendszerint kevés adatból kell
megbízható modellt alkotni, ezért ezekben a feladatokban különösen fontos
szerepe van az interpolációnak. A cél sok esetben olyan térbeli
attribútum tömbök levezetése melyek megjelenítése különböző értelmű és értékű
izofelületekkel lehetséges. Az attribútum mezők jellege szabja meg az
izofelületek milyenségét.
A digitális magasságmodell fogalmának
bevezetésekor, tulajdonképpen már megismertük ezt a modellezési eljárást.
Lényege, hogy a vizsgált térbeli felületet olyan síkkal helyettesíti, melynek
minden pontjához attribútumként rendeli hozzá a magasságokat. Egyértelmű, hogy
ezzel a módszerrel csak olyan felületek írhatók le, melyek magassága az
alapsíkra vonatkozóan egyértékű fügvénnyel írható le. Bár elvileg lehetséges
volna többértékűség esetén a felület alapsíkját megváltoztatni és olyan síkra
vetíteni, melyre a többértékűség nem áll fenn, ez a módszer a gyakorlatban nem
terjedt el.
|
2.45 ábra -
geológiai rétegek vetővel
|
E térképi adatok
digitalizálásával nyerhetünk bemenő adatokat 2.5 D-s rétegmodellünkhöz. A
rétegek mélységeit rendszerint négyzetháló sarokpontjaira interpoláljuk. A
földtani viszonyok jobb visszaadása gyakran megköveteli, hogy modellünket sík
vetőkkel egészítsük ki (2.45 ábra).
|
A 2.5 D-s modell
továbbfejleszthető két felület által határolt rétegek reprezentálására is.
Ezt a módszert elsősorban akkor célszerű alkalmazni, ha kis felbontású
globális földtani modellt kivánunk létrehozni. E modelleket hagyományosan,
mélységi illetve rétegvastagsági izovonalakkal ábrázolják, melyeket a
geológusok mérési eredmények és szakmai szabályok alapján szerkesztenek.
|
Ha a bemenő adatok fúrásszelvények diszkrét pontjaiban
adottak, úgy célszerűbb a mélységi információt ezekben a pontokban tárolni, s a
felületekre jellemző kapcsolatokat e pontokra szerkeszthető, egyértelmű Delaunay háromszögeléssel reprezentálni.
A 2.5 D-s logikai adatmodell, az elmondottak értelmében a
következőképpen foglalható össze:
A közös határral rendelkező rétegek esetén a határt
természetesen csak egyszer tároljuk. A felületet szórt pontjaival és háromszög
hálózatával vagy levezetett négyzethálójával adjuk meg, a hozzájuk tartozó
értelmezési tartományt pedig poligonokkal határoljuk le. A felsorolt logikai
egységekhez tetszőleges számú attribútum rendelhető. Mivel a rétegek többféle
szempont alapján alakíthatók ki, át is fedhetik egymást, sőt tartalmazhatják is
egymást (gondoljunk a talajvízre, mely több réteget is tartalmazhat).
Már most érdemes rámutatni, hogy mind a réteg-, mind a
testmodell az esetek jelentős részében számottevő elhanyagolásokat tartalmaz a
valóságot hűebben leíró skalár- és vektortér modellezéssel szemben.
A térbeli objektumokat szabályos és szabálytalan
objektum osztályokba sorolhatjuk. Az osztályozást gyakorlati szempontok
indokolják.
Első szempontként az objektumra vonatkozó ismereteink eredetét
említhetjük. A szabályos objektumok rendszerint aktuális vagy valamikori tervezés,
és ez utóbbi esetben, ha megvalósult objektumokról van szó, emberi munka
eredményei. Tervezett alakja és méretei ismertek, megvalósult alakja és méretei
meghatározhatóak. A szabálytalan objektumok alakját és méreteit általában nem
ismerjük pontosan, ezek közelítő meghatározása, viszonylag kis számú határoló
pont ismeretében, különböző interpolációs eljárásokkal lehetséges.
Második szempontként megemlítjük, hogy szabályos objektumok
esetén a modellezési módszerek viszonylag egyszerűbbek.
Végül indokolja az osztályozást a felhasználási terület is: a
szabályos objektumokat elsősorban a gépészeti tervezésben, az építész- és
mérnöki tervezésben, és kisebb mértékben, a bányászati tervezésben alkalmazzák,
míg a szabálytalan modellek szinte egyeduralkodók a szélesen értelmezett
földtudományok valamennyi területén.
Modellezés szempontjából legegyszerűbb szabályos objektumoknak
a vonalas objektumokat tekinthetjük (kábelek, sinek, szállítószalagok
stb.). Kezelésük és tárolásuk nem tér el lényegesen a már ismert síkbeli
vonalas objektumokétól. Egyetlen különbség, hogy töréspontjaik kettő helyett
három koordinátával vannak megadva, s ennek megfelelően a síkbeli egyenesekre
megismert műveleteket egy dimenzióval bővíteni kell.
Az eltolási vagy forgatási szimmetriával
rendelkező testek modellezésére egyszerű megoldást kinál a pásztázás
(sweeping) módszere.
|
2.46 ábra - a
pásztázás kétféle megvalósítása
|
|
Lényege,
hogy egy terület (keresztmetszet) és egy pálya Descartes-i szorzata (x)
reprezentálja a testet (2.46 ábra a fele). Bővíthető a módszerrel modelezhető
testek tartománya kiegészítő műveletek alkalmazásával, bár az ilyen úgy
nevezett hybrid modelleknél a számitástechnikai nehézségek viszonylag
gyorsan növekednek.
A 2.46 ábra b felén egy ragasztásnak (K) nevezett halmazegyesítési
eljárással kapcsoltunk össze két pásztázással modellezett elemi testet.
|
Keletkezésükkor a testábrázolás általánosabb
módszerei is a többé kevésbé szabályos gépészeti formák modellezésére
voltak orientálva. A módszerekkel szemben támasztott követelményeket a
gépészeti CAD rendszerek követelményeiből kiindulva úgy fogalmazták meg, hogy
az adott testek egyértelműek, konzisztensek legyenek és, hogy az adott
leírás mind a számítási (pld. köbtartalom számítás), mind a rajzi igényeket
kielégítse.
|
2.47 ábra - a
határleírás módszer szemléltetése
|
Ez a kifejezés
általánosítható, ha r az oldallapokon található üregek száma, h a testen
áthaladó lukak száma, s pedig a testcsoport független elemeinek száma. Ebben
az esetben:
v - e + f = 2(s - h) + r
.
Minden Euler képletet kielégítő test leírható öt operátorral és azok
inverzével.
A határleírás igen
előnyös a grafikus megjelenítés szempontjából, hátrányaként azt tartják
számon hogy viszonylag nehezen módosítható az alakzat.
|
Az egyik leggyakrabban
alkalmazott módszer a határleírás, tulajdonképpen a síkbeli vektoros
modellek térbeli megfelelője. A módszer lényege, hogy a testeket határlapok
uniójaként fogja fel, melyet kiegészít a határlapokat tartalmazó felületek
definícióival. Magukat a határlapokat az élek unióinak tekinti (2.47 ábra).
A testek felépítése és lebontása elemi
műveletekkel, az úgy nevezett Euler féle operátorokkal valósítható
meg (lásd részletesebben pld. Mantyla és Sulonen tanulmányában [16]).
Ezek az operátorok nevüket a jól
ismert Euler törvényekről kapták miszerint minden
egyszerű poliaederben a lapok (f), élek (e) és csúcsok száma (v) között az
alábbi egyenletben megfogalmazott szabály kell, hogy érvényesüljön:
v - e + f = 2
.
|
A konstruktív testgeometria alapgondolata a következő:
minden test felépíthető
egyszerűbb testekből a regularizált Boolean műveletek az unió
(), metszet (), összeg
(), és különbség () segítségével.
Egyes modellekben primitív testeket:
téglatesteket és hengereket alkalmaznak, más modellek alacsonyabb színtű primitív
alkotóelemei a félterek. Ebben a megközelítésben egy blokk (téglatest) hat
síkféltér regularizált metszése.
|
|
2.48 ábra - a
konstruktív testgeometria módszer szemléltetése
|
|
A féltér azon E3-ban lévő P
pontok együttese, amelyekre érvényes, hogy
{P:
f(P)0},
ahol f=0 egy felület. Sík féltér alatt azokat a pontokat értjük, melyek az
ax +
by + cz +d = 0
síkon és annak egyik oldalán helyezkednek el.
A konstruktív testgeometriai modellezés előnyös a módosítások
és számítások szempontjából, közvetlen rajzi megjelenítése azonban nehézkes,
ezért rajzi igények fellépésekor célszerű ezt a struktúrát előbb határleírásos
alakba konvertálni.
A térbeli modellezés általános esetében a teret rendszerint
elemi testek uniójaként fogják fel, azaz a térbeli tesszellációt alkalmazzák.
Az objektumok megjelenítésekor pedig a tesszellációs modell alapján levezetik
az ábrázolandó határfelületeket, azaz az ábrázolás közvetlen alapjául a
vektor módszer térbeli megfelelője a határleírás szolgál.
A térbeli földrajzi objektumok azonban nem
csak testekből állnak, hanem a síkbeli vektoros adatmodellben már tárgyalt
pontokból, vonalakból és területekből is. E megismert objektumok bővülnek a
felületekkel illetve testekkel, melyek alkotóelemei az élekben találkozó
határoló lapok. Ha ezenkívül még feltételezzük azt is, hogy valamely
tulajdonságjellemzőjük azonossága alapján az egy objektum típushoz tartozó
földrajzi objektumokat osztályokba is sorolhatjuk, ugy a vektoros 3D-s
földrajzi adatmodell blokksémáját Molenaar nyomán [17] a 2.49 ábrában foglalhatjuk össze.
A modellnek a tároláson, megjelenítésen és
lekérdezésen kívül alkalmasnak kell lennie két objektum egymásra hatásának
vizsgálatára is. E téma vizsgálata a közeljövő kutatási tematikáinak tárgyát
fogja képezni. Annyi mindenesetre már ma is megállapítható, hogy a feladat
viszonylagos egyszerűsítéséhez célravezetőnek látszik az objektumok tovább
bontása primitív és összetett elemi objektumokra.
Nem igényel ugyanakkor nagy előrelátást annak a megállapítása,
hogy az objektumok közötti műveletek a 2D-s vektoros modellekhez hasonlóan, de
fokozott mértékben bonyolítják a raszteres modellben viszonylag egyszerűen
elvégezhető metszési feladatokat. Nem téveszthetjük ugyanakkor szem elől, hogy
a hierarchikus objektum struktúra a vektoros modell sajátja s ezért az objektum
orientált lekérdezések és egyéb műveletek közvetlenül csak a vektoros
adatmodellben realizálhatók. Valószínűsíthető, hogy a távolabbi jövőben a
vegyes vektoros-tesszellációs modellek a 3D-s modellezésben is jelentősebb
szerepet fognak játszani. Mivel azonban, amint már említtettük, a 3D-s
modellezés még igen új szakterület, így módszerei fejlődésében és
átértékelődésében már a közeljövő is szolgálhat néhány meglepetéssel.
A tesszellációs modelleket, síkbeli
megfelelőikhöz hasonlóan, szabályos és szabálytalan osztályokba soroljuk.
|
2.50 ábra -
szabályos testek
|
|
A
szabályos modellek alapelemeit a szabályos síkidomokkal határolt öt úgy
nevezett Plátón-i test a szabályos tetraéder (a), hexaéder
(kocka) (b), oktaéder (c), dodekaéder (d)
és ikozaéder (e) közül, választhatjuk, pontosabban a pentagon-dodekaéder
nem elégíti ki a hierarchikus modell által megkívánt továbboszthatósági
kritériumot, ezért figyelembe vételétől eltekinthetünk.
A globális földtudomány
számára az ikozaéder modell tekinthető a legperspektívebbnek, mivel ez
közelíti meg legjobban a gömböt, mely bizonyos célokra a Föld modelljeként is
elfogadható.
A gyakorlati feladatok
azonban általában korlátozott kiterjedésű helyi jelenségek modellezését
igénylik, rendszerint a hasznosítható ásványok telepeinek leírására kerülnek
felhasználásra. A szabályos modellek közül ilyen célokra, egyelőre, kizárólag
a 2.50/b ábrán látható kockát alkalmazzák.
|
Ez a tény
az egyszerűségen kívül elsősorban azzal magyarázható, hogy a kockák
tömörítésére használt nyolcadolással létrehozható gráfok az úgy nevezett nyolcágú
fák (octree-k) tárolására és manipulálására a négyágú fákra kidolgozott
algoritmusok viszonylag egyszerű általánosítás után kiválóan alkalmazhatók (sok
algoritmust, már eredetileg is n dimenzióra dolgoztak ki).
A
2.51 ábrán egy egyszerű térbeli objektum (A) kockákra bontását és az
eredmény nyolcágú fáját mutatjuk be.
Természetesen az
elemi kockák, idegen szóval voxelek, a képmátrixhoz hasonlóan,
tömbökben is tárolhatók, kézenfekvő, hogy e tömbök dimenziója bináris
objektumok esetén három. A tömbös (más szóval direkt vagy bithalmazos
tárolás) előnyös a halmazműveletek közvetlen végrehajthatósága szempontjából,
ugyanakkor nagy hátránya a jelentős tárolási igény.
Sajnos
a hagyományosan alkalmazott pointeres octree-s tárolásnál, amikor a fa
ágait mutatókkal láncoljuk egymáshoz (a keresési algoritmusok meggyorsítása
érdekében általában két irányban), az elkerülhetetlen 32 bites mutatók miatt
nem várható drasztikus csökkenés a tároló helyekben.
|
|
Legjobb
megoldásnak pillanatnyilag a lineáris octree tűnik, mely csak a levél szinten
lévő fekete voxeleket tárolja a helyzetüket és nagyságukat leíró iránykóddal.
Az iránykód egy olyan karaktersorozat, melynek elemeit, a gyökértől kezdődően,
a hierarchia szint növekvő sorrendjében, a kérdéses fekete levélhez vezető ágak
iránykódjai alkotnak. Az iránykód hossza megadja, hogy a voxel hányadik
hierarchia szinten található, azaz hogy milyen nagy. Ha a gyökér szintnek (0.
hierarchia színt) megfelelő befoglaló kocka térfogatát egységnyinek tekintjük,
úgy az i-ik hierarchia szinten található voxel köbtartalma
A 2.51 ábra jelölt voxele (második hierarchia színt, 7. levél) például lineáris
octreevel a következőképpen írható le: 37, köbtartalma pedig a
bemutatott képlet felhasználásával: 1/64.
|
Ha
az X, Y, Z térbeli derékszögű koordinátarendszer O
kezdőpontját az A befoglaló kocka hozzánk közelebb fekvő bal alsó
sarkába helyezzük el, úgy az egyes levelek által reprezentált voxelek analóg
(hozánk közelebb fekvő bal alsó) sarokpontjainak koordinátáit a táblázat
baloldalán látható kifejezésekből számíthatjuk. Ki az i.-ik hierarchia színt iránykódját jelenti.
|
Már utaltunk rá, hogy a voxeles adatmodell
népszerűségét viszonylagos egyszerűségén kívül elsősorban az magyarázza, hogy a
raszteres (pixeles) kétdimenziós modellnél kidolgozott algoritmusok a harmadik
dimenzió bevezetésével könnyen általánosíthatók a voxeles modellra. Az előző fejezetben ismertetett fogalmakat, algoritmusokat
illetve módszereket most nem kívánjuk kibővítve újra tárgyalni, csak utalunk
néhány szempontra, melyet a bővítésnél célszerű figyelembe venni.
A legegyszerűbb a távolság fogalmak
kiterjesztése. Valamennyi képletre igaz az a szabály, hogy háromdimenziós
esetben kibővítendők a z koordináták különbségeivel is, mégpedig ugyanolyan
formában, ahogy az adott kifejezés a másik két koordináta különbséget
tartalmazza.
Nem jelent elvi problémát a halmazműveletek és
a területszámítás általánosítása (azaz a köbtartalom
számítás) sem. Bithalmazos (tömbös) tárolás esetén az unió
vagy metszet ciklusmagja ugyanaz mint kétdimenziós esetben, csak a
környezete változik annyiban, hogy a kérdéses ciklust a háromdimenziós tömbök
mind a három ciklusváltozója szerint lefuttatjuk. Ugyanez a helyzet a
köbtartalom számításnál is azzal a különbséggel, hogy a műveletben csak egy
háromdimenziós tömb vesz részt és a három ciklus ennek a fekete voxeljeit
számolja össze.
Octree-s tárolásnál az elmondottak
minden változtatás nélkül alkalmazhatóak a 3D-s halmazműveletekre is csak azt
kell figyelembe venni, hogy az összehasonlítást hierarchia szintenként nem 4
hanem 8 csomópontra kell elvégezni. A köbtartalom számítás lineáris octree
tárolás esetén szintén nem okozhat különösebb gondot. Olyan programot kell
összeállítanunk, mely megszámolja az egyes ágakban lévő iránykódok számát és
feltölt velük egy egydimenziós tömböt. A tömb mérete megegyezik a tárolt fekete
voxelek számával. Magát a köbtartalom számítást egy olyan ciklus végzi, mely
sorra behívja a tömb elemeit, a köbtartalom képlettel
kiszámolja a kérdéses voxel köbtartalmát és hozzáadja az előző voxelek
köbtartalom összegéhez. A végösszeget akkor kapjuk meg, ha a ciklus annyiszor
futott le ahány fekete voxelt tároltunk.
Kissé bonyolultabb az általánosítás a kerület illetve az annak háromdimenziós esetben
megfelelő felület esetében. A problémát tulajdonképpen az
jelenti, hogy háromdimenziós esetben a szomszédsági osztályok is bővülnek és
ennek megfelelően újabb felület fogalmakat is bevezethetünk. Míg a kétdimenziós
esetben a d-szomszédság (a pixelek oldalaik mentén találkoznak) és az i-szomszédság
(a pixelek sarkai találkoznak), tehát két szomszédság fogalom három kerület
fogalom meghatározását tette lehetővé, addig a voxelek esetében három féle
szomszédságról is beszélhetünk (a voxelek lapok mentén találkoznak - a d-szomszédság
megfelelője, élekben találkoznak - i-szomszédság, csúcsukban találkoznak
- új fogalom, nevezzük c-szomszédságnak), következésképpen lehetőségünk
van bővíteni a határoló felület fogalmát is. A gyakorlat számára azonban
továbbra is a d-szomszédságon alapuló felület fogalmat célszerű
alkalmazni, ekkor viszont az ismertetett kerület meghatározó algoritmus 3D-s
általánosításával érhetünk célt. Végül megjegyezzük, hogy Samet
már többször idézett munkájában [4] a legtöbb algoritmust
már eleve n dimenzióra kiterjesztve találjuk.
A háromdimenziós modellezést rendszerint földalatti objektumok
pld. érctelérek, széntelepek modellezésére használják. A rendelkezésre álló
információ gyakran hiányos, a rendszerint szabályos rácsban elhelyezkedő
fúrásszelvények nem feltétlenül az objektumot határoló felület jellemző
töréspontjairól nyújtanak információt. Ilyen körülmények között indokolt a
szabályos tesszelláció az előző pontban ismertetett voxeles modell alkalmazása,
mivel szabályos elrendezésének köszönhetően viszonylag egyszerű számítási és
megjelenítési algoritmusokkal rendelkezik. Az is igaz, hogy a felbontás
növelésével a voxeles modell elvileg képes a pontos információkat is a
megkívánt finomsággal visszaadni. A probléma csak az, hogy ezekben az esetekben
a voxeles modell bizonyos feladatokra nem éppen a leggazdaságosabb.
Ez a tény vezetett a szabálytalan
tesszellációs modellek kialakulásához. A szabálytalan tesszellációban elemi
testeként a napjainkig ismert módszerek a szabálytalan tetraedert
alkalmazzák. Ha ismerjük az objektum n db. x,y,z koordinátával jellemzett
pontját, úgy e pontokra az egyértelmű és bizonyos, később
ismertetett szempontok szerint optimális tetraeder felbontás
elvégezhető, ha megelégszünk a pontokat burkoló konvex héjjal.
Ne felejtsük el, hogy a vázolt feladatban valamennyi ismert
pont attribútuma azonos, s csak azt fejezi ki, hogy a kérdéses pont az
objektumhoz tartozik. Ha a pontok attributum értékei a tér valamely változó
tulajdonságú jellemzőjét (pld. hőmérséklet, kénkoncentráció, porozitás stb.)
írják le, úgy az optimális háromszög illetve tetraeder felbontás a 2D-s és 3D-s
skalártér modellezés eszköze.
Határesetként vehetjük figyelembe a mérnöki
gyakorlatnak azt a Magyarországon különösen aktuális feladatát, amikor a város
alatt húzódó alagút (pince) labirintus 3D-s modellezésére van szükség. Ha az
alagutak felmérését geodéziai-bányamérési módszerekkel végezzük, úgy minden
pontról tudni fogjuk nem csak azt, hogy az objektumhoz (alagúthoz) tartozik,
hanem azt is, hogy az alagút határoló felületén helyezkedik el. Ez a plusz információ, amint azt az alábbiakban látni fogjuk,
lehetővé teszi, hogy az egyértelmű tetraéder felbontást tetszőleges alakú,
tehát nem csak konvex, objektum esetén elvégezhessük.
Amint az a módszer elnevezéséből is kitűnik,
alkalmazhatóságának feltétele, a felmérést keresztszelvények segítségével
hajtsuk végre. Azért beszélünk kvázi keresztszelvényekről, mivel az eljárás nem
igényli, hogy a szelvények síkok legyenek, csak azt, hogy a szelvények ne
messék egymást.
Az
oldalágak fellépését kettéágaztatással vesszük figyelembe, ami azt jelenti,
hogy mind a felmérésnél, mind a feldolgozásnál egy alagút szakasznak csak két
követője lehet. A 2.52 ábra jól szemlélteti az elmondottakat: az 1 és 2
keresztszelvények közötti egyenes szakasz után három irányba is elágazik a
barlang, de mivel a modellünk csak kettős elágazásokat kezel, a hármas
elágazást két egymás után következő kettős elágazásra bontjuk.
|
A 2
szelvénytől kezdődően az elágazás először a 3 és 5 szelvényekkel indul, majd
az 5 szelvényből kiindulóan a 6 és 8 szelvények felé. Kézenfekvő, hogy ez a
megoldás csak akkor alkalmazható, ha az 5 szelvényt a helyszínen is kitűztük
és bemértük.
|
Meghatározzuk mindkét keresztszelvény
súlypontját és a két súlypontot összeillesztve egymásra helyezzük a
súlypontokat összekötő tengelyre merőleges síkra vetített keresztszelvényeket
(ne felejtsük, hogy a felmérés során nem kötöttük ki a keresztszelvények sík
voltát, mivel ez jelentősen nehezítette volna a terepi munkát, csak azt a
követelményt támasztottuk, hogy a kvázi-keresztszelvények nem metszhetik
egymást). Az összevetítés eredményeképpen, kedvező esetben, az egyik
keresztszelvény magában foglalja a másikat. Mivel algoritmusunk erre a
feltételezésre épült, abban az esetben ha a keresztszelvények metszik egymást
olyan mértékben változtatjuk meg az egyik keresztszelvény méretarányát, hogy
a bennfoglalási követelmény kielégüljön.
A palástot reprezentáló
háromszöghálózat szerkesztését a két keresztszelvény egymáshoz legközelebb
eső két pontjának összekötésével kezdjük (2.53 ábra). A következő
háromszögoldal meghúzására két lehetőségünk is van (ha egy haladási értelmet
pld. az óramutató járásával megegyezőt előírunk): ugyanis az első oldal első
vagy második végpontjából is indulhat a következő háromszögoldal. Azt az
oldalt választjuk a két lehetséges közül, mely kisebb szöget zár be a
súlypontból az oldal felezőjébe húzott egyenessel. Az eljárást az elmondottak
szerint mindaddig folytatjuk, amíg a két keresztszelvény között a
háromszöghálózat teljes nem lesz.
|
Két keresztszelvény
között a barlang határfelületét háromszöghálózattal modellezzük, azaz
tulajdonképpen a határleírás módszerét használjuk. Ha erről a modellről
szabálytalan tesszellációra azaz tetraéderes felbontásra akarunk áttérni, úgy
magukon a síkba vetített keresztszelvényeken is el kell végezni a
háromszögfelbontást. Ezután sorra véve valamelyik keresztszelvény
háromszögeit és a hozzájuk csatlakozó háromszögeket a paláston megkapjuk a
szakaszt alkotó tetraéderek első részét, az eljárást a másik keresztszelvénnyel
megismételve pedig a másikat. Térjünk azonban vissza a palást modellezésére.
|
Az
elágazások helyein a két ághoz is tartozó (nagy) keresztszelvényeket már a
felmérés során két részre kell bontani (be kell mérni az elválasztó vonal két
pontját), majd a háromszög hálózatok megszerkesztését a két rész számára a
korábban elmondott módon végezzük azzal a különbséggel, hogy a közös
keresztszelvény egy-egy felét úgy tekintjük mintha olyan önálló
keresztszelvény volna, melynek két pontja azonos egy másik
keresztszelvénnyel.
|
Az
elmondottakból következik, hogy a két részkeresztszelvényt a hozzájuk tartozó
ág másik végének keresztszelvényével együtt a saját ághoz tartozó
súlypontokat összekötő egyenesre merőleges síkra vetítjük, ami
természetszerűen különböző a két ágra (2.54 ábra).
|
A szabálytalan tesszelláció általános esete szoros
kapcsolatban áll a Delaunay háromszögeléssel és duálisával a Voronoi
tesszellációval. Mivel ez a módszer különösen jelentős szerepet játszik
a térinformatikában számos területén, tárgyalásának egy külön pontot
szentelünk.
Megjegyzéseit
E-mail-en várja a szerző: Dr Sárközy Ferenc