Budapesti Műszaki Egyetem Általános Geodézia Tanszék**

A FIR technikák túlzottan gyors elterjedése az utóbbi öt évben azt eredményezte, hogy egyre nő azoknak a feladatoknak a száma, melyek számára nem nyújtanak kielégítő megoldást a 'hagyományos' 2 D-s FIR szoftverek. Elsőként a bányamérők láttak hozzá az új elvek és eszkózök kereséséhez [1], [2], őket a geológusok követték, majd sorra következtek a hidrológusok, meteorológusok, építőmérnökök, építészek, stb. Jelenleg a talajvíz szennyeződés kérdései állnak számos szakterület képviselői érdeklődésének középpontjában.

A modellezendő jelenségek eltérő természetűek, ezért megoldásuk kúlönböző módszereket igényel. Elvileg a legegyszerűbbek azok a 3 D-s modellek, melyek a terepet és a rajta található mesterséges és természetes tárgyakat ábrázolják. Ilyen tárgyak lehetnek az épületek, hidak, traverzek, fák, sziklák, stb. Az esetek többségében ezeket a modelleket azért hozzák létre, hogy az építészeti tervezés támogatására lehetővé tegyék a különböző megfigyelési pontokból történő szemléltetést. E modellek segítségével az építész különböző helyekre teheti a tervezett épületeket és tanulmányozhatja az egyes variánsoknak a szemlélőre gyakorolt hatását. Ezen rendszerek adatmodelljét a 3D-s CAD rendszerek elemeivel bövített, DMM-el kiegészített 2D-s FIR rendszerek alapján lehet létrehozni. E rendszer osztály legfontosabb jellemzői az alábbiakban foglalhatók össze:

a) a 3D-s objektumok adatai pontosan ismertek, a terep adatok pedig tetszőleges pontossággal mérhetők;

b) a fedésbe hozás műveletét nem hagyományos értelemben használják a 3D-s objektumok között (gondoljunk csak arra, hogy az épület és a talaj fedésbe hozásából származó alapgödör nem aggregálhatja a talaj és az épület tulajdonság jellemzőit, a metszet segítségével legfeljebb az elvégzendő földmunka volúmenére kapunk tájékoztatást), ugyanakkor a 3D-s kisérő zóna létrehozására szükség lehet az épületek telepítésénél (hiszen például be kell tartani az épületek törvényben megadott távolságát a nagyfeszültségű vezetékektől);

c) e rendszereknek kiváló grafikus-megjelenítő képességekkel kell rendelkezniük.

A bányászati 3 D-s rendszereknek elvileg három feladatuk van: az ásványi erőforrások feltárása a 3 D-s skalár mezők modellezésével, a mesterséges létesítmények tervezésének támogatása illetve a megvalósult állapot rögzítése, végül a fejtés geometriai és tulajdonság jellemző adatainak rögzítése. A fenti feltételek azt jelentik, hogy a követelmények oldaláról a bányászati rendszereknek modellező modulokkal kiegészített FIR eszköztárral kell rendelkezniük. A valóságban azonban, az esetek többségében a bányamérők valamilyen feljavított CAD rendszert használnak és a modellező programokat a térbeli interfésztől függetlenül futtatják.

A hagyományos 2 D-s FIR-ek térbeli megfelelői azok a rendszerek, melyeket a globális geológiában használnak. Sajnos az e területen fenálló korlátozott piaci viszonyok következtében e rendszerek nem igen váltak kereskedelmivé (álalában egyetemi fejlesztesekről van szó) s ezért kevéssé ismertek a szélesebb FIR közösség előtt. A globális modellekben az objektumokat rétegek és vetők hozzák létre. Minden réteget két felület és esetlegesen egy vagy több vető határol [3]. Ennek a geometriai modellnek az előnye abban rejlik hogy lehetővé teszi számos olyan felületmodellező módszernek az alkalmazását, melyet a DMM-el kapcsolatban korábban már kidolgoztak. A réteg tulajdonságjellemző adatai olyan adatokból állnak, melyek közöseknek tekinthetők az egész rétegre. Mivel egy fizikai pont rendszerint több réteghez is tartozik a modell elvileg alkalmas a fedésbe hazás műveletének elvégzésére is. A globális geológiai rendszerek fő problémája a térben és pontosságban homogén adatok hianyában rejlik. Az adatok egy részét a felszínen nyerik és nagyobbrészt ösztönös extrapolálással terjesztik ki érvényességét a mélybe, az adatok másik részét a geofizikusok szolgáltatják. Ezek az adatok még kiegészülhetnek a feltáró fúrások eredményeivel, melyeket rendszerint asványvagyon kutatás érdekében hajtanak végre.

A helyi (bányászati) geológia a fúrólukakból származó pontszerű, szórt adatokat rendszerint testmodellezésre használja. A voxelekre bontás lehetővé teszi az alap objektum (telér) összetétel változásainak figyelembe vételét. Az egy objektumon belüli változó attribútum értekek használatának ez a módja az első lépés a dinamikus objektum fogalom bevezetése útján. Minőségileg homogén objektum-tér esetén lehetséges az objektumot reprezentáló pontok convex burkának egyértelmű tetraeder felbontása.

Az utóbbi néhány év tudományos-technikai publikációi (pld. [4], [5]) akárcsak néhány új kereskedelmi szoftver termék (pld. INTERGRAPH Voxel Analyst) azt mutatják, hogy nagymértékben nőtt a különböző szennyező anyagok vízbeli és levegőbeli eloszlása modellezésének jelentősége. A legtöbb projekt a talaj, talajvíz, tó, öböl stb. szennyeződés vizsgálatával foglalkozik. Bár ezt a modellt is terhelheti az adthiány korántsem olyan mértékben ahogy a geológiai modellekben láttuk. A legnagyobb adatproblémát rendszerint az ismételt mérések hiánya okozza. Megfelelő tagszámú idősorok nélkül lehetetlen a szennyeződés időbeli terjedését modellezni. Ha modellezni szeretnénk bizonyos vegyi anyagok eloszlását egy tóban, úgy a tavat olyan összefoglaló objektumnak tekinthetjük, melynek változó attribútum mezői vannak. Ez azt jelenti, hogy az összefoglaló objektum nem más mint a vizsgált skalár terek létezési tartománya. Azokban az esetekben amikor a határoló felület akadályozza a terjedést az összefoglaló objektum modell megkonstruálása a modellezési folyamat fontos kiinduló pontja. Más esetekben, ha a rezervoár természetes határai a vizsgált jelenség hatáskörzetén kívül esnek nincs szükségünk e határok meghatározására mivel úgy tekinthetjük mintha a jelenséget leíró skalár tér értelmezési tartománya a végtelen féltér volna. Ebben az esetben összefoglaló objektumként egy olyan téglatestet válaszhatunk, mely teljességgel tartalmazza a vizsgált jelenséget. Ebben a modellosztályban az interpolációs eljárás különösen fontos szerepet játszik.

A FIR alapelve a geometriai és leíró adatok kapcsolatán nyugszik. Lényeges momentum, hogy egy geometriai képződménynek (pont, vonal, terület a 2 D-s FIR-ben) több attribútuma is lehet.

A 2 D-s geometriai adatokat a rendszerek vagy vektorok vagy elemi területek segítségével írják le (az utóbbi esetben tesszellációs modellról beszélünk). A hatékony rendszerek a vektorokat topológiai struktúrákba szervezik, míg a tesszellációs módszerek szinte kizárólag raszternek nevezett rendszerben elemi négyzetekből építik fel az objektumot. A legkorszerűbb FIR szoftverek képesek kezelni mindkét geomeriai adatmodellt.

Mindkét geometriai adattipus hatékonyan tárolható hierarchikus struktúrában, ugyanakkor az attributiv adatok kényelmes tárolására rendszerint relációs adatbázist használnak. A két adatbázist pointerek kapcsolják össze. Bár találkozunk olyan törekvésekkel is, melyek mindkét adattipust ugyanabban a relációs adatbázisban kivánják tárolni, e koncepciónak több hátránya is van: mindenek előtt a kombinált adatbázis a szokásos táblázatstruktúra átalakításával jár (változó hosszúságú mezők alkalmazása), másrészt a grafikus műveletek végrehajtása jóval lassabb az egyesített adatbázisban. Ez utóbbi hátrányt úgy próbálják kiküszöbölni, hogy külön választják a tartós tárolásra és a műveletek végrehajtásakor ideiglenes tárolásra szolgáló struktúrákat. Míg a tartós tárolást az aktualizálás után a relációs adatbázisban végzik, addig a műveleteket ideiglenes, összekapcsolt de különálló grafikus és relációs rész-adatbázisok felhasználásával hajtják végre, azaz a műveletekhez létrehozzák az optimális struktúrát. Ez az adatszervezés azonban azzal a következménnyel is jár, hogy a projekt területére definiáltan a tényleges munka előtt hosszadalmas kötegelt műveletekkel létre kell hozni a részadatbázisokat, majd a munka után ugyanilyen eljárásokkal végre kell hajtani a tartós adatbázis aktualizálását. Előnyként e rendszerek hívei a tartós adatbázis konzisztencia biztonságára szoktak hivatkozni, arról azonban nem szólnak hogy ez a cél, bár más eszközökkel, a különálló grafikus és alfanumerikus adatbázisoknál is megoldható. Igen valószínű, hogy az új, objektum orientált adatmodell tárolási kérdéseinek korszerű realizálása fogja szolgáltatni a racionális megoldást a közös tárolási struktúrára.

Az első 3 D-s adatmodelleket a CAD rendszerek alkalmazták. Két alapvető adattipust használtak: a határleírást és a konstruktív test geometriát (angol rövidítéssel CSG) [6]. A határleírást egyfajta vektor módszernek tekinthetjük, míg a CSG egy nagyon sajátos tesszellációs modell.

Az egyik leggyakrabban alkalmazott módszer a határleírás, tulajdonképpen a síkbeli vektoros modellek térbeli megfelelője. A módszer lényege, hogy a testeket határlapok uniójaként fogja fel, melyet kiegészít a határlapokat tartalmazó felületek definícióival. Magukat a határlapokat az élek unióinak tekinti (1. ábra).

1. ábra

A testek felépítése és lebontása elemi műveletekkel, az úgy nevezett Euler féle operátorokkal valósítható meg (lásd részletesebben pld. Mantyla és Sulonen tanulmányában [7]). Ezek az operátorok nevüket a jól ismert Euler törvényekről kapták miszerint minden egyszerű poliaederben a lapok (f), élek (e) és csúcsok száma (v) között az alábbi egyenletben megfogalmazott szabály kell, hogy érvényesüljön:

v - e + f = 2 (1).

Ez a kifejezés általánosítható, ha r az oldallapokon található üregek száma, h a testen áthaladó lukak száma, s pedig a testcsoport független elemeinek száma. Ebben az esetben:

v - e + f = 2(s - h) + r (2).

Minden Euler képletet kielégítő test leírható öt operátorral és azok inverzével.

A határleírás igen előnyös a grafikus megjelenítés szempontjából, hátrányaként azt tartják számon hogy viszonylag nehezen módosítható az alakzat.

A konstruktív test geometria alapgondolata a következő:

minden test felépíthető egyszerűbb testekből a regularizált Boolean műveletek az unió (), metszet (), összeg (), és különbség () segítségével. Egyes modellekben primitív testeket: téglatesteket és hengereket alkalmaznak, más modellek alacsonyabb színtű primitív alkotóelemei a félterek. Ebben a megközelítésben egy blokk (téglatest) hat síkféltér regularizált metszése (2. ábra).

2. ábra

A féltér azon -ban lévő P pontok együttese, amelyekre érvényes, hogy

{P: f(P)0} (3),

ahol f=0 egy felület. Sík féltér alatt azokat a pontokat értjük, melyek az

(4)

síkon és annak egyik oldalán helyezkednek el.

A konstruktív testgeometriai modellezés előnyös a módosítások és számítások szempontjából, közvetlen rajzi megjelenítése azonban nehézkes, ezért rajzi igények fellépésekor célszerű ezt a struktúrát előbb határleírásos alakba konvertálni.

Ezek a modellek jól hasznosíthatók a 2.5 D-s építész rendszerekben, ugyanakkor nem elégítik ki a 3 D-s FIR követelményeit.

Az általános 3 D-s FIR számára felhasználhatjuk a vektor modellt. A modell sémáját Molenaar [8] publikációja alapján az 3. ábra tartalmazza.

Bár a dimenzió emelés a topológiai modellben igen hasznos lehet mind az általános elmélet, mind az elkövetkező évek szoftverfejlesztései szempontjából napjainkban, részben a földalatti jelenségek jellege, részben a nagymértékű adathiány következtében általában a kevésbé általános megoldások élveznek előnyt.

Az eredeti modell homogén objektumokat tételez fel, azaz ebben a modellben minden egyes objektum minden pontjának tetszőleges időpillanatban azonos tulajdonság jellemzői vannak. Ezek a feltételek vagy igen nagy felbontású felmérést tételeznek fel a föld alatti vagy föld feletti térben, vagy igen durva osztályozást továbbra is viszonylag nagy felbontású felmérés mellett. Ráadásul, bizonyos esetekben (pld. vízszennyezési vizsgálatoknál) a felmérést közel azonos időben kell végrehajtani, ugyanakkor a eredményként levezetett konstans tulajdonságjellemzők csak nagyon rövid ideig érvényesek.

3. ábra

Ha azonban megváltoztatjuk a konstans attribútumok elvét, s bevezetjük helyette az attribútum függvények fogalmát, úgy a modell valóban általánossá válik és alkalmazhatóvá a legkúlönfélébb speciális esetekben.

Jó példa a kevésbé általános megoldásokra a Kvázi keresztszelvényekkel bemért alagút digitális modellje. Amint az a módszer elnevezéséből is kitünik, alkalmazhatóságának feltétele, hogy a felmérést keresztszelvények segítségével hajtsuk végre. Azért beszélünk kvázi keresztszelvényekről, mivel az eljárás nem igényli, hogy a szelvények síkok legyenek, csak azt, hogy a szelvények ne messék egymást.

Az oldalágak fellépését kettéágaztatással vesszük figyelembe, ami azt jelenti, hogy mind a felmérésnél, mind a feldolgozásnál egy alagút szakasznak csak két követője lehet. A 4. ábra jól szemlélteti az elmondottakat: az 1 és 2 keresztszelvények közötti egyenes szakasz után három irányba is elágazik a barlang, de mivel a modellunk csak kettős elágazásokat kezel, a hármas elágazást két egymás után következő kettős elágazásra bontjuk. A 2 szelvénytől kezdődően az elágazás először a 3 és 5 szelvényekkel indúl, majd az 5 szelvényből kiindulóan a 6 és 8 szelvények következnek. Kézenfekvő, hogy ez a megoldás csak akkor alkalmazható, ha az 5 szelvényt a helyszínen is kitűztük és bemértük.

4. ábra

Két keresztszelvény között a barlang határfelületét háromszöghálózattal modellezzük, azaz tulajdonképpen a határleírás módszerét használjuk. Ha erről a modellről szabálytalan tesszellációra azaz tetraederes felbontásra akarunk áttérni, úgy magukon a síkba vetített keresztszelvényeken is el kell végezni a háromszögfelbontást. Ezután sorra véve valamelyik keresztszelvény háromszögeit és a hozzájuk csatlakozó háromszögeket a paláston megkapjuk a szakaszt alkotó tetraederek első részét, az eljárást a másik keresztszelvénnyel megismételve pedig a másikat. Térjünk azonban vissza a palást modellezésére.

Meghatározzuk mindkét keresztszelvény súlypontját és a két súlypontot összeillesztve egymásra helyezzük a súlypontokat összekötő tengelyre merőleges síkra vetített keresztszelvényeket (ne felejtsük, hogy a felmérés során nem kötöttük ki a keresztszelvények sík voltát, mivel ez jelentősen nehezítette volna a terepi munkát, csak azt a követelményt támasztottuk, hogy a kvázi-keresztszelvények nem metszhetik egymást). Az összevetítés eredményeképpen, kedvező esetben, az egyik keresztszelvény magában foglalja a másikat. Mivel algoritmusunk erre a feltételezésre épült, abban az esetben ha a keresztszelvények metszik egymást olyan mértékben változtatjuk meg az egyik keresztszelvény méretarányát, hogy a bennfoglalási követelmény kielégüljön. A palástot reprezentáló háaromszöghálózat szerkesztését a két keresztszelvény egymáshoz legközelebb eső két pontjának összekötésével kezdjük (5 ábra). A következő háromszögoldal meghúzására két lehetőségünk is van (ha egy haladási értelmet pld. az óramutató járásával megegyezőt előírunk): ugyanis az első oldal első vagy második végpontjából is indulhat a következő háromszögoldal. Azt az oldalt választjuk a két lehetséges közül, mely kisebb szöget zár be a súlypontból az oldal felezőjébe húzott egyenessel. Az eljárást az elmondottak szerint mindaddig folytatjuk, amíg a két keresztszelvény között a háromszöghálózat teljes nem lesz.

5. ábra

Az elágazások helyein a két ághoz is tartozó (nagy) keresztszelvényeket már a felmérés során két részre kell bontani (be kell mérni az elválasztó vonal két pontját),

6. ábra

majd a háromszög hálózatok megszerkesztését a két rész számára a korábban elmondott módon végezzük azzal a különbséggel, hogy a közös keresztszelvény egy-egy felét úgy tekintjük mintha olyan önálló keresztszelvény volna, melynek két pontja azonos egy másik keresztszelvénnyel.

Az elmondottakból következik, hogy a két részkeresztszelvényt a hozzájuk tartozó ág másik végének keresztszelvényével együtt a saját ághoz tartozó súlypontokat összekötő egyenesre merőleges síkra vetítjük, ami természetszerűen különböző a két ágra (6 ábra).

Szórt, többdimenziós adatpontok esetén a Delaunay-háromszögelés és duálisa a Voronoi tesszelláció n dimenziós kiterjesztésén alapúló modell használható [9]. Nem véletlen, hogy a 2 D-s FIR-ekben a terepet rendszerint TIN (szabálytalan háromszöghálózat) modulokkal modellezik. A módszert alkalmazva a pontmező konvex héja automatikusan számítható. A módszernek értékes tulajdonságai vannak az attribútum értékek durva interpolációjában is [10]. Bár a rendszert felépítő eljárások hatékonyak, a módszer segítségével végrehajtott tömeg és felület számítások időigénye nagyobb mint a voxelek alkalmazása esetén. Ezzel is magyarázható ez utóbbi szélesebb elterjedése. Meg kell azonban említeni, hogy a többdimenziós Delaunay módszer lehetőségei koránt sincsennek megfelelően kihasználva. A modell egyik legfőbb előnye, hogy lehetővé teszi az attribútumok bekapcsolását a geometriába a 'háromszögelés' dimenziójának felemelésével. Ebből a tulajdonságból az a természetes következtetés vonható le, hogy mivel mindkét adattipus azonos megjelenésűvé lényegült át közös tárolásuk és kezelésük egy relációs adatbázisban lehetséges és indokolt.

A leggyakrabban használt térbeli adatmodell a voxel modell. A modell alapeleme a kocka, mely korlátlanul oszható vagy aggregálható kisebb vagy nagyobb hasonló kocka-idomokba. A tárolás és a kezelés racionálisabbá tételére a voxeleket rendszerint a nyolcágú fa (octree) struktúra valamely válfajába szervezik [11], [12]. Ez a modell igen jól használható a halmaz műveletekre és a tömeg számításokra. E kedvező tulajdonságai következtében az octree-t gyakran használják szórt pontok inerpolálásával levezetett másodlagos modellként is. Bár a modellben rejlenek olyan fejlesztési lehetőségek is, melyek támogatják a gyűjtő objektumok generálását illetve lebontását, a gyakorlatilag használható rendszerek konstans attribútumú objektumokat kezelnek.

A földalatti és légköri mérések nehézségei, a hely azonosítás problémái a vízben ismételt mérések esetén, kellően hangsúlyozzak az interpoláció jelentőségét a 3 D-s modellezésben.

A módszereket három alapvető csoportra oszthatjuk: a) statisztikai eljárások, b) polynómos interpoláció, c) függvény approximácio.

A módszerek csoportosítását elvégezhetjük a feldolgozott rendszer kiterjedése alapján is. Ha az interpolációs eljárás felhasználja a mező összes mért pontját az eljárást globális-nak nevezzük, ha csak az inerpolálandó pont környezetében mért pontokat vesszük figyelembe lokális eljárásról beszelünk. A legtöbb olyan gyakorlati esetben amikor nagymennyiségű mért pont áll rendelkezésünkre a gobális módszerek is lokális approximációs technikákat alkalmaznak..

A következő két szempont is fontos szerepet játszik az interpolációs eljárás megválasztásánál: mi a modellezés célja és mi lesz a sorsa az eredeti és interpolált adatoknak a műveletek elvégzése után.

A statisztikai módszerek alapgondolata szerint az interpolált értéket az ismert adatok valamilyen súlyozott számtani középértéke szolgáltatja:

(5),

ahol az interpolált érték az helyen, a mért érték az pontban, i=1,..., n, és a értékek a súlyok. A súlyok meghatározására számtalan módszer áll rendelkezésünkre. Az egyszerűbb módszerek a reciprok távolság valamelyik hatványát használják súlyként, azaz: , ahol p=1,2 vagy 3.

Komplikáltabb módszert a 'krigelés' különböző válfajai közül választhatunk [13]. A krigelés az interpolált értékek minimális varianciájú becslését szolgáltaja, ha a mért értékek kielégítenek bizonyos stacionaritási feltételeket (első rendű stacionaritás, másod rendű stacionaritás, belső stacionaritás). Ha egy stacionaritási hypothézis sem vehető fel úgy a megoldást az univerzális krigelés segítségével számíthatjuk. Sajnos ez utóbbi módszernek nincs egyértelmű megoldása s nagymennyiségű interaktív inputot és subjektív értékelést igényel a feldolgozás folyamatában.

A krígelés első lépésében az u.n. tapasztalati fél-variogrammot számolják az alábbi képlet felhasználásával:

(6),

ahol a h távolságra becsült félvariancia, n(h) a h osztályban mért pontpárok száma, Z(.) mért érték az (.) helyen.

A (6) egyenlet viszonylag könnyen számítható, ha a mért pontok szabályos raszterben helyezkednek el és a mező izotróp, azaz ha csak a h nagyságátóltól függ, de nem függ a kérdéses pontokat összekötő egyenes irányától. Ha az ismert pontok nem szabályos helyzetűek távolság osztályokat kell alkotni, az izotrópia hiánya esetén pedig különböző fél-variogrammokat kell számolni a jellemző irány csoportokban. A kövekező lépésben a tapasztalati fél-variogrammo(ka)t helyettesítik egy megfelelő függvénnyel, melyet a legkisebb négyzetek módszerével illesztenek a tapasztalati adatokra.

Az (5)-ben a Z(x0) ismeretlen függvény interpolálására használt súlyokat az (n+1) lineáris egyenletből álló alábbi rendszer megoldásával nyerik:

(7),

ahol , és K az úgy nevezett Krige-mátrix

(8).

A C0 vektorok különbözőek minden interpolálandó ponton a ci,j együtthatókat pedig az elméleti (interpolált) fél-variogrammból kell számolni. Az elméleti fél-variogramm maximumát (vagy annak 95%-át) a H értéknél éri el, melyet a jelenség hatástávolságának hívnak. Azok az együtthatók, melyekhez tartozó pontok a hatástávolságra vagy annál nagyobb távolságra helyezkednek el egymástól zérus értéket vesznek fel, a többi együtható pedigig a következő kifejezésből nyerhető: , ahol h a távolságot jelöli az xi és xj. pontpár között.

A krigelés rövid összefoglalása is mutatja már, hogy ennek a módszernek több hátránya van a 3 D-s FIR-ben való alkalmazása esetén. Elsőnek az egyértelműség hiányát kell megemlítenünk a trendek és anizotrópiák kezelésénél. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy torzított becsléseket kaphatunk, ha rosszul választjuk meg a trendegyütthatókat és a variogramm csoportokat. Másodszor, az eredményként jelentkező függvényértékeket előre meghatározott helyeken (rendszerint egy szabályos rácsháló sarokpontjaiban) kapjuk. Ez pedig azzal jár, hogy a módszer nem szolgáltatja a függvény deriváltjait s ez a tény megnehezíti használatát a felületelemzésben. Mivel a módszer globális a számítási munka jelentős futásidőt vesz igénybe. Megjelenítési célokra egy másik módszert, rendszerint a spline interpolációt kell igénybe vennünk.

A módszer előnyeként ugyanakkor megjegyezzük, hogy az interpolált pontok szabályos rácsban tárolhatók, ami kényelmessé teszi az adatmozgatásokat és számításokat.

Az első szélesen elterjedt 3 D-s modellező kereskedelmi program-csomag [4], mely a 2 D-s spline interpoláció 3 D-s kiterjesztését használja, Briggs 1973-ban kidolgozott eljárásán [14] alapul.

Az eredeti 2 D-s módszer előre definiált rácspontokban határozza meg a függvényértékeket anélkül, hogy előbb meghatározná a térbeli változóknak azt a folytonos függvényét, mely visszaadja a mért értékeket az adott helyzetű pontokon. A célból, hogy megoldja a két dimenziós polynóm szakaszok illesztési problémáit a szórt elhelyezkedésű észlelési pontokhoz, Briggs megoldotta a vékony lemez differenciál egyenletét, mely megoldás harmadrendű spline-hoz vezetett. A numerikus megoldásra differencia egyenletek szolgáltak, melyek megadták a függvényértékeket a szabályos rácspontokban. Az eljárás végtermékeként színtvonalas térképet állitott elő a színtvonalak és a rácsoldalak metszéspontjait négy pontos, harmadfokú polynómmal interpolálta, e metszéspontokat pedig harmadfokú spline-al kötötte össze.

Sajnos a [4] nem tartalmaz semmi részletet a dimenzió kiterjesztés problémáiról, ennek ellenére valószínűsíthető, hogy a differencia egyenletek levezetése a 3 D-s esetben is a közelítő összgörbület négyzetének minimalizálásán alapul.

Mitasova és Mitas [15], [16] kidolgozták a variációs feltételek explicit megoldását az első-, és másodfokú deriváltak direkt becslésével két, három és négy dimenziós esetekre. A kapott függvény, melyet az összes deriváltat tartalmazó u.n. 'simasági' funkcionál négyzetének minimalizálásával vezettek le az alábbi alakkal rendelkezik:

(9),

ahol a j index a mért pontokat, lj az ismeretlen együtthatókat, R(x, x[j]) pedig a bázisfüggvényeket jelöli.

A vizsgált esetekre T(x) = a1 = constans. Három és négy dimenziós esetekben a bázis függvények az alábbiak:

(10),

ahol , pedig egy tetszőlegesen választott

'feszültségnek' nevezett paraméter, mely alkalmas arra, hogy szabályozza a rendszer hajlékonyságát,

a hibafüggvény.

A l1,...,lN, a1, összesen N+1 ismeretlen parametert az alábbi N+1 lineáris egyenletből határozhatjuk meg, amelyekben z[i]-el jelöljük az x[i] pontban mért függvény értéket;

(11).

Az explicit módszerrel kapcsolatban több kérdés vár további vizsgálatra. Mindenek előtt az általános globális módszerek gyakorlati alkalmazása tűnik problematikusnak a nagy futási idő igény miatt, mely nagyságrendje egyébként a mért mennyiségek számának köbével arányosan növekszik. A [15]-ben a szerzők olyan szegmentált eljárásra tesznek javaslatot, melyben számos átfedő lokális modellel közelítik a globális modellt. Sajnos a hivatkozott műben nem találunk utalást arra, hogy mennyiben függ a közelítés pontossága az átfedés mértékétől, a vizsgált jelenség sajátosságaitól stb. Ha azonban a módszert FIR függvényként kivánjuk alklmazni úgy ki kell dolgozni az adott tűrések függvényében automatikusan szegmentáló eljárást is.

Ismeretesek olyan klasszikus szegmentáló eljárások, melyek globális megoldáshoz vezetnek. Ha az elemzés azt mutatja, hogy lokális szegmentálással nem lehet kielégíteni a pontossági követelményeket, úgy alkalmazhatók a globális szegmenteló eljárások, lehetőleg kihasználva a párhuzamos feldolgozás előnyeit.

A modellezett három és négy dimenziós mezők megjelenítésére olyan program modulokat használtak, melyek lazán kapcsolódtak a GRASS FIR program legújabb verziójához. A laza kapcsoltot az indokolta, hogy a kérdéses FIR szoftver nem rendelkezik a megkivánt térbeli adatstruktúrákkal [16]. Ez a tény ismételten aláhúzza olyan nyílt FIR szoftver létrehozásának szükségességét, mely rendelkezik kiterjeszthető adatstruktúrákkal.

A krigelésnél bemutatott (7) lineáris egyenlet rendszer, legalább is külsőleg, nagyon hasonlít a (11) rendszerre. Érdekes volna numerikus esetleg analitikus vizsgálatokat végezni a két rendszer lényegi viszonyát illetően.

A 3 D-s interpolációs módszer kiválasztásánál tekintettel kell lennünk a hazai hardver környezetre is. A nagy számítógépes rendszerek illetve a párhuzamos feldolgozást támogató munkaállomás hálózatok hiányában előnyben kell részesítenünk a viszonylag csekély futás idejű lokális módszereket. A szerző által javasolt egyszerű módszer [17], mely kielégíti ezeket a követelményeket az alábbiakban foglalható össze:

Minden ri pont számára, melyben ismerjük az általában ismeretlen f(r) függvény értékét ui-t, létrehozható egy olyan Gi(r) approximáló függvény, mely megfelelöen közelíti az eredeti függvényt a pont környezetében. E függvény értelmezve van az egész globális modellre és legalább a szomszédos pontokat jól közelíti. A legegyszerűbb lokális függvény a három ismeretlenes polinóm az alábbi kifejezéssel írható fel: (12).

Az approximáció pontossága a függvény központi pontjától mért távolságtól függ. Az ismert (mért) értékek és a megfelelő függvényértékek különbségét a kifejezésből számolhatjuk. Az eltéréseket távolság intervallum csoportokba rendezhetjük és a kifejezéssel kiszámithatjuk minden intervallum szórásnégyzetét. A képletben K a kérdéses intervallumba eső eltérések számát jelöli.

Izotróp mezők esetén ahol sm a függvényértékek szórása a csomópontokban. Az a, b, c parametereket a megfelelő d, sd párokból számolhatjuk. Kidolgoztuk az anizotrópia kezelésének módszerét is és meg van a lehetősége minden lokális modell speciális viselkedésének a figyelembe vételére.

A szórásokból kiszámíthatjuk a súlyokat, majd súlyozott számtani közép képzéssel az interpolált függvény értéket:

(13).

Az első, néhány kisméretű adatálománnyal végzett próba számítás a módszer kiváló approximácós tulajdonságairól tanuskodik.

A három dimenziós skalár és négy dimenziós vektor terek matematikai modellezése jelentős mértékben fejlődött az elmult néhány évben. Ezt a folyamatot a megbízható adtok növekvő igénye váltotta ki a természet és műszaki tudományok különböző ágaiban. Különösen a környezetvédelem és az ásványvagyon gazdálkodás érdekelt a témában.

A modellezett jelenségek terei kölcsönhatásban állnak más olyan terekkel, melyek ugyanarra a tér (idő) tartományra vonatkoznak. Mind a modelleket, mind kölcsönhatásukat más terekkel elemezni, mérni és szemléltetni kell. A tartomány összes gyűjtött és modellezett adatát közösen kell tárolni és kezelni.

A hagyományos 2 D-s FIR arra képes, hogy felhasználva a topológiai struktúrálás elvét (illetve valamely négyágú fa verziót a raszteres esetben) és a konstans attributum fogalmat, statikus objektumokat tároljon, kezeljen, elemezzen.

A 3 D-s FIR-nek megfelelő geometriai adat struktúrával kell rendelkeznie az előforduló 0, 1, 2, 3 dimenziós objektum tipusok leírására de emellett még kiegészítő eszközei is kell hogy legyenek a változó attribútum értékek kezelésére. A 3 D-s modellezést támogató FIR környezet egy lehetséges realizálását a 7. ábrában vázoltam fel.

7. ábra

A koncepció legstatikusabb eleme a tartomány. Geometriailag a 3. ábrán bemutatott vektor eszközökkel vagy nyolcágú fával modellezhető. A tartomány attribútumai azok a terek, melyeket eredetileg a szórt mérési pontok reprezentáltak. Az interpolációs eljárások vagy explicit függvények együtthatóivá, vagy szabályos rácsbeli értékekké transzformálják a szórt pontok adatait. Maguk az explicit függvények is felhasználhatók rácsadatok levezetésére, de valódi előnyük inkább az előzetes analyzis végrehajtásában illetve a különböző kölcsönhatások számításában van. Az előzetes analyzis például a signifikáns grádiens változások detektálásával javíthatja a rácspontok levezetését.

Az objektumok ebben a sémában elvileg időleges képződmények, melyeket egy választott tulajdonságjellemző kijelölt értékintervallumára hoznak létre. A FIR szoftver támogatja a halmazműveleteket és a megjelenítési eljárásokat de a tárolás a függvény vagy rács struktúrán alapul.

Ez az általános struktúra egyszerűen lebontható több hagyományos (állandó attribútumokkal dolgozó) 3 D-s FIR-re kielégítve azon mérnöki szakterületek igényeit, melyek nem hasznosítják a magasabb felbontást illetve nem veszik figyelembe a jelenségek változó természetét.

[1] Kavouras M.: Design of a geometry-system to handle 3-D mining information. VIth International Congress International Society for Mine Surveying Harrogate / 9-13 September 1985. Proceedings. Volume one. A. A. Balkema / Rotterdam / Boston. pp. 40-46.

[2] Sárközy F.: The role of integrated geodetic-photogrammetric complexes in establishing information systems for mining. VIth International Congress International Society for Mine Surveying Harrogate / 9-13 September 1985. Proceedings. Volume one. A. A. Balkema / Rotterdam / Boston. pp. 27-34.

[3] Sárközy F.: Designing an integrated 2.5 and 3 dimensional information system for geoscientific and engineering purposes. XIX Congress International Federation of Surveyors 10.-19. 9. 1990 Helsinki Finland. Proceedings. Comission 6. pp. 131-145.

[4] Smith D. R., Paradis A. R.: Three-dimensional GIS for the earth sciences. AUTO-CARTO 9. Proceedings. Baltimore, 1989. pp. 324-335.

[5] Calkins H. W., Xia F. F. and Guan W.: GIS based 3-D segmentation for water quality modeling. GIS/LIS '93 Annual Conference November 2-4, 1993. Minneapolis, Minnesota. Proceedings. Volume 1. pp. 92-101.

[6] Siki Z.: Mathematical model for solids under the surface of the earth. Periodica Politechnica Civil Engineering. Vol. 34. Nos 3-4. pp. 143-152. Budapest 1990.

[7] Mantyla M., Sulonen R.: GWB: a solid modeler with Euler operators. Computer Graphics & Applications. September 1982. pp. 17-31.

[8] Rikkers R., Molenaar M., Stuiver J.: A query oriented implementation of a 3D topologic datastructure. EGIS '93. Proceedings. Vol. 2. Genoa 1993. pp. 1411-1420.

[9] Bowier A.: Computing Dirichlet tesselation. The Computer Journal. Vol. 24, No. 2, 1981. pp. 162-166.

[10] Gold C. M.: Problems with handling spatial data - the Voronoi approach. CISM Journal ACSGC. Vol. 45, No. 1. Spring 1991. pp. 65-80.

[11] Samet H.: Application of spatial data structures. Addision-Wesley Publishing Company. 1989.

[12] Samet H.: The design and analysis of spatial data structures. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1990.

[13] Dowd P. A.: A review of geostatistical techniques for contouring. NATO ASI Series. Vol. F17. Fundamental Algorithms for Computer Graphics. Edited by R. A. Earnshaw. pp.483-529. Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1985.

[14] Briggs I. C.: Machine contouring using minimum curvature. Geophysics. Vol. 39, No. 1. February 1974. pp. 39-48.

[15] Mitašova H. and Mitaš L.: Interpolation by Regularized Spline with Tension: I. Theory and Implementation. Mathematical Geology. Vol. 25. No. 6, 1993. pp. 641-655.

[16] Mitašova H., Brown W., Gerdes D. P., Kosinovsky I.., Baker T.: Multidimensional interpolation, analysis and visualization for environmental modeling. GIS/LIS '93 Annual Conference November 2-4, 1993. Minneapolis, Minnesota. Proceedings. Volume 2. pp. 550-556.

[22] Sárközy F., Gáspár P.: Modelling of scalar fields represented by scattered 3D points. Periodica Polytechnica Civil Engineering. Vol. 36, No. 2. pp. 187- 200. Budapest 1992.