28. FEJEZET - AFFIN ÉS NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK (GIS,térinformatika,térkép,geodézia)


   
 
 

28. FEJEZET - AFFIN ÉS NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

 
Tartalom
<<< Előző fejezet               Következő fejezet >>>
 

28. Fejezet - AFFIN ÉS NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

Magyar változat: Gross Miklós, Budapesti Geodéziai és Térképészeti Vállalat

 

A. BEVEZETÉS

B. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓS ELEMEK

1. Eltolás

2. Méretarányváltoztatás

3. Forgatás

4. Tükrözés

C. KOMPLEX AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK

D. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK A GIS-BEN

Egyszerű példa

Városi tűzeset-tanulmány példa

E. NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

IRODALOM

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

 

MEGJEGYZÉSEK

 

28. Fejezet - AFFIN ÉS NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

Magyar változat: Gross Miklós, Budapesti Geodéziai és Térképészeti Vállalat

 

A. BEVEZETÉS

- koordináta transzformációra akkor van szükség, ha az adott területen az objektumok különböző koordinátarendszerben vannak, esetleg különböző vetületi rendszerű térképeken (néha ismeretlen vetületi rendszerben)

- transzformálni kell egy, vagy több koordináta-rendszerben meglévő elemeket, hogy azok ugyanabban a koordináta-rendszerben legyenek megadva, mint a többi elem

- nézzük meg a koordinátatranszformáció két lehetséges útját

1. ha az objektumot mozgatjuk a fix koordináta-rendszerben, akkor változnak a koordinátái.

2. az objektumot fixen tartjuk és mozgatjuk a koordináta-rendszert

- ez a leghasznosabb módja a transzformálásnak a GIS célokra

- (x,y) az objektum helyét meghatározó koordinátapár a transzformáció előtt (a régi koordináta-rendszerben)

- (u,v) az objektum helyét meghatározó koordinátapár a transzformáció után (az új koordináta-rendszerben)

- a transzformációk két fő csoportja:

- affin transzformáció, amikor a párhuzamos vonalak párhuzamosak maradnak

- mint látni fogjuk, az ebbe a csoportba tartozó transzformációknak 6 állandójuk van

- nem lineáris, magasabbrendű transzformációk, ahol nem szükségszerű, hogy a vonalak egyenesek és párhuzamosak maradjanak

- ezeknek a transzformációknak többnyire 6-nál több állandójuk van

 

B. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓS ELEMEK

- az affin transzformáció a párhuzamos vonalak párhuzamosságát megtartja

- az affin transzformációnak négy különböző típusa (eleme) van:

1. Eltolás

- az origó mozog, a tengelyek nem fordulnak el

u = x - a

v = y - b

- az origó 'a' egységgel mozdul el az x tengellyel párhuzamosan, és 'b' egységgel az y tengellyel párhuzamosan

 

2. Méretarányváltozás

- az origó és a tengelyek fixek, a méretarány változik

u = cx

v = dy

- az x és y méretaránytényezői különbözőek

- ha a méretaránytényezők különbözőek, akkor az objektum alakja megváltozik

3. Forgatás

- az origó fix, a tegelyek elmozdulnak (forgatás az origó körül)

u = x cos (a ) + y sin (a )

v = -x sin (a ) + y cos (a )

(megjegyzés: 'a ' - az óramutató járásával ellentétes irányban mért szög)

4. Tükrözés

- a koordináta-rendszer fordított, az objektum képe tükörkép

- az y fordított, de x nem:

u = x

v = c-y

- ez a transzformáció a képek video monitorokon történő megjelenítésénél érdekes, ahol az eredeti koordináta-rendszer origója a bal felső sarokban van és a koordináták onnan jobbra és lefele nőnek

 

C. KOMPLEX AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK

- rendszerint ezen transzformációk kombinációját használják

- a kombinált egyenlet:

u = a + bx + cy

v = d + ex + fy

- gyakran nem tudják szétválasztani a használt transzformációt egy vagy több elemi lépésre a fent meghatározott elemekből, egy transzformáció okozhat olyan változást, mintha egy egészen más transzformáció okozta volna; a sorrend fontos

- pl: egy méretarány változtatás utáni eltolás nem ugyanaz, mint egy eltolás és utána méretarány változtatás. A hatás különböző.

- kivétel:

- a tükrözésnél előfordul, ha bf < ce

 

D. AFFIN TRANSZFORMÁCIÓK A GIS-BEN

- gyakori, amikor a GIS térbeli adatbázisának létrehozásához ismeretlen, vagy nem pontos vetületű térképlapokat használnak

- a két adatsor regisztrálása céljából azonosítani kell olyan illesztőpontokat vagy keretjeleket, amelyek mindkét térképen megtalálhatók

- legalább 3 illesztőpontnak kell lenni, mivel a 3 pont 6 értéket ad, amivel meghatározható a 6 ismeretlen

- az illesztőpontok nem lehetnek egy egyenesen (nem lehetnek kollienárisok)

Egyszerű példa

- illesztőpontok:

x y u v

0 0 1 10

1 0 1 9

0 1 3 10

1 1 3 9

- megoldás:

Útmutatás: megfigyelhető, hogy y és u kapcsolatban vannak, y változásai azonos változást eredményeznek u-ban, ugyanez figyelhető meg x és v relációjában is

- ezért:

v = 10 - x

u = 1 + 2y

- a teljes egyenlet:

u = 1 + 0x+ 2y

v = 10 - 1x + 0y

- megjegyzendő, hogy bf = 0, ce = -2

- ezért bf > ce, tehát nem tükrözés

Városi tűzeset - tanulmány példa

28.1. melléklet - városi tűzeset (2 oldal)

Probléma:

- adott: két térbeli adatsorozat:

1. A népszámlálási körzetek határvonalai a városban, UTM koordinátákkal

2. A tüzek helye berajzolva a város nem teljesen kész utcatérképén.

- UTM a szükséges koordináta-rendszer

- meg kell számolni a tűzesetek számát minden népszámlálási körzetben és elemezni kell a tűzek számának és a népszámlálási adatoknak az összefüggését

- például: a tűzesetek száma összefügg-e a fából épült házak számával?

Megoldás:

- használja a főutcák kereszteződését illesztőpontoknak

- a végső koordináta-rendszerhez határozza meg a kereszteződések UTM koordinátáit

- a tűzeseti térkép rendszeréhez használjon akármilyen derékszögű koordináta-rendszert (pl. digitalizáló tábla), aminek az origója és tengelyei fixek

- határozza meg a két affin transzformációs egyenlet 6 paraméterét lineáris regressziós módszerrel, felhasználva az illesztőpontok mindkét rendszerben ismert koordinátáit

- végezzen pontosságvizsgálatot a maradék hibák elemzésével

- a maradék hibák térbeli eloszlása utalhat a rendszer gyenge meghatározottságára

- lehet, hogy a térkép szabálytalanul torzult

- a maradék hibák nagysága utal a transzformáció pontosságára

- ebben a példában a hibák nagysága 150 m-es pontosságra enged következtetni

- a tűzesetek helyeinek UTM koordinátái 150 m-re esnek az uttérképen megjelölt helytől

- erre az elemzésre ez a pontosság megfelelő

 

E. NEM LINEÁRIS TRANSZFORMÁCIÓK

- az egyszerű lineáris transzformációt ki lehet terjeszteni magasabb fokú transzformációra:

u = a + bx + cy + gxy

vagy

u = a + bx + cy + gx2

vagy

u = a + bx + cy + gx2 + hy2 + ixy

- az egyenletek ebben a formában görbe felületeket írnak le

- "rugalmas felületet" eredményez, amiben a pontok nem egyenletesen lesznek transzformálva a térképlapokra. A transzformációk nem affin transzformációk (a párhuzamos egyenesek nem párhuzamosak, lehet, hogy görbék).

- a "rugalmas lap" transzformációk végrehajthatók darabonként (részenként) is

- a térképet fel lehet osztani régiókra (részekre) és minden résznek saját transzformációs egyenlete lesz

- az egyenleteknek ki kell elégíteniük az élek folytonosságának feltételeit a részek csatlakozásánál

- nem lineáris transzformációk általában nagyobb pontosságot biztosítanak

- pontosság alatt azt értjük, hogy a transzformációt az illesztőpontokra alkalmazva , hűen visszakapjuk azok másik koordináta-rendszerbeli koordinátáit

- nagyobb pontosság már nem várható el

- a nem lineáris transzformációk nagyobb pontosságot biztosítanak az illesztőpontokon, de rosszabb az átlagos hibájuk

 

IRODALOM

Goodchild, M.F., 1984. "Geocoding and Geosampling", in: G.L. Gaile and C.J. Willmott, eds., "Spatial

Statistics and Models", Reidel Publishing Company, Dordrecht, Holland, pp. 33-53.

 

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

1. Egy térkép digitalizálva lett úgy, hogy az origó a bal alsó sarok volt. Az x tengely a térkép alsó éle, az y tengely a térkép bal éle volt. A teljes terület x irányban 0-tól 100 egység, y irányban 0-tól 50 egység. Ki kell számítani a transzformáció paramétereit, amivel a terület megjeleníthető képernyőn 640 oszlopban és 480 sorban. A sorok és oszlopok számozása a bal felső sarokban kezdődik és a poziciók meghatározása a képernyőn a megfelelő sor és oszlop számával történik.

2. Írja le a transzformációt x és y, valamint UTM Észak és UTM Kelet koordinátái között. Az adatok a szövegben adottak a tűzeseti példánál. Lépések: (a) origó eltolása, (b) méretarányállítás, (c) elforgatás, (d) tükrözés.

3. Beszéljen azon tényezőkről, amelyek miatt nincs illeszkedés az adott terület különböző térképei között, valamint az affin transzformáció elégtelenségéről.

Beszéljen ezen tényezők relatív fontosságáról.

4. Beszéljen az illesztőpontok kiválasztásának kritériumairól, beleértve a pontok számát, eloszlását egy koordinátatranszformáció esetében.

 
Tartalom
<<< Előző fejezet               Következő fejezet >>>
 



 
 


©GIS Figyelő